Тема 9. Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання елементів теорії випадкових процесів, масового обслуговування в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Математичною моделлю випадкового процесу є певна функція від дійсного аргументу , значення якої при кожному фіксованому є випадковою величиною. Саме поняття випадкового процесу (випадкової функції) є узагальнюючим поняттям випадкової величини.
Отже, випадковим процесом називають такий процес, коли при будь-якому можливому значенні випадкова функція утворює випадкову величину.
При ми дістанемо випадкову величину, яку називають перерізом випадкового процесу.
Випадковий процес X(t) називають марковським, якщо за будь-якого можливого значення часу t = t1 значення випадкової величини x(t1) не залежить від того, яких значень ця величина набувала для t < t1 , тобто процес у момент часу t = t1 не залежить від його поведінки в більш ранні моменти часу t < t1.
Нехай X(t) – однорідний марковський процес із обмеженим , або зліченим, числом можливих станів i =0,1,2,3,…,n,…
Якщо аргумент t набуває лише значення 0,1,2,3,…n, то в цьому разі матимемо послідовність переходів
Такий процес послідовностей переходів називають ланцюгом Маркова.
Процес переходу системи S утворює ланцюг Маркова, якщо ймовірність перейти в стан Аj в момент часу залежить лише від того, в якому стані система перебувала в момент часу , і не залежить від стану системи в більш ранішні моменти часу.
Імовірність переходу зі стану в стан в момент часу позначають через
Повна ймовірна картина всіх можливих переходів систем із одного стану в інший за умови, що число всіх станів дорівнює , безпосередньо описується матрицею ймовірностей переходу
Якщо не залежить від часу, то ланцюг Маркова називають однорідним і тоді Для кожного рядка матриць виконується рівність:
Матрицю називають n –кроковою матрицею переходу з одного стану в інший.
Математичною моделлю для найпростішої системи масового обслуговування з одним пуассонівським потоком і одним каналом обслуговування (одноканальний прилад), час якого має експоненціальний закон розподілу ймовірностей, є система рівнянь
Тут і - інтенсивності відповідно народження і загибелі одиниць популяції. Дана математична модель застосовується в елементарній теорії масового обслуговування.
Задачі для розв’язання
1. За заданою матрицею ймовірностей переходу деякої системи
побудувати орієнтований імовірний граф.
2. Фірма купила новий станок, який може перебувати в одному з трьох несумісних станів: 1 – станок працює добре (не потребує жодних витрат); 2 – може бути використаний у роботі, але потребує дрібного ремонту; 3 – перебуває в нероботоздатному стані.
Матриця ймовірностей переходу станка з одного стану в інший за 1 крок (1 місяць) має такий вигляд:
.
Задана матриця вартостей
.
Оцінити
ефективність роботи станка за три
робочих місяці. Елементи rij
матриці
вартостей вимірюються в грн. При цьому
.
Т е с т и
Фірма купила новий станок, який може перебувати в одному з трьох несумісних станів: 1 – станок працює добре (не потребує жодних витрат); 2 – може бути використаний у роботі, але потребує дрібного ремонту; 3 – перебуває в нероботоздатному стані.
Матриця ймовірностей переходу станка з одного стану в інший за 1 крок (1 місяць) має такий вигляд:
.
Варіант №1
Задана
матриця вартостей
.
Елементи rij матриці вартостей вимірюються в грн. При цьому .
1)
Знайти вектор
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2)
Знайти вектор сумарних витрат
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Варіант №2
Задана
матриця вартостей
.
Елементи rij матриці вартостей вимірюються в у.од.. При цьому .
1)
Знайти вектор
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2) Знайти вектор сумарних витрат :
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №12
Тема заняття. Модульний контроль.
Мета заняття: перевірити та оцінити теоретичні знання і практичні навички в ході розв’язання задач за темами практичних занять №1-11.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
Змістовий модуль 2. Математична статистика
Практичне заняття №13