Тема 8. Граничні теореми теорії ймовірностей

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання закону великих чисел та граничних теорем в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина має обмежені математичне сподівання і дисперсію , то для довільного ε>0 має місце нерівність

.

Теорема Чебишова. Нехай задано попарно незалежних випадкових величин ( , які задовольняють умовам

1) =a_i, 2) D(X_i) ≤C, (C – деяка стала, C>0) ∀ і=1,2,...,n.

Тоді

.

Центральна гранична теорема. Нехай задано незалежних випадкових величин ( , кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із , і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числа закон розподілу наближається до нормального.

Задачі для розв’язання

1. Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 0,001. Яка ймовірність того, що випадкова величина Х відрізняється від її математичного сподівання більше ніж на 0,1?

2. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-2;4). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність , якщо ε=4σ.

3. Випадкова величина Х має такий закон розподілу:

Х	1	5
Р(Х)	0,7	0,3

Використовуючи нерівність Чебишова оцінити ймовірність того, що .

4. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.

5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

6. Кожна із 100 незалежних випадкових величин має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 0,12]. Записати наближено закон розподілу для випадкової величини .

7. Із якою надійністю середнє арифметичне вимірів певної величини відповідає істинному виміру цієї величини, якщо було здійснено 500 вимірювань із точністю 0,1 і при цьому дисперсії випадкових величин – результатів вимірювання – не перевищують 0,3.

8. Скільки необхідно провести вимірів діаметра втулки, щоб середнє арифметичне цих вимірів відрізнялося від істинного розміру діаметра втулки не більше як 0,05 із надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових величин (результатів вимірів) не перевищують 0,2.

9. Випадкова величина – середнє арифметичне 10000 незалежних випадкових величин , що мають один і той самий закон розподілу, і середнє квадратичне відхилення кожної із них дорівнює 2. Яке максимальне відхилення величини від його математичного сподівання можна очікувати з імовірністю 0,9544?

10. Верстат із програмним управлінням виготовляє за робочу зміну 900 виробів, із яких в середньому 1% складає брак. Знайти наближено ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менше 810 доброякісних виробів, якщо вони виявляються доброякісними незалежно один від одного.

Т е с т и

Варіант №1

1. До яких явищ застосовується закон великих чисел?

а) до явищ з однією випадковою подією;

б) до явищ з великою кількістю випадкових подій;

в) до явищ з малою кількістю випадкових подій;

г) до явищ з двома несумісними подіями.

2. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-1;2). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=4.

а) 0,64; б) 0,987; в) 0,9375 г) 0,945.

3. Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб , коли відомо, що D( Х )=5.

а) 400; б) 10; в) 5; г) 74.

Варіант №2

1. Які умови мають виконуватись для нерівності Чебишова?

а) випадкова величина Х має обмежене математичне сподівання;

б) випадкова величина Х має обмежену дисперсію;

в) випадкова величина Х має обмежені математичне сподівання і дисперсію;

г) випадкова величина Х має обмежені дисперсію і середнє квадратичне.

2. Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб , коли відомо, що D( Х )=3.

а) 0,98; б) 5,35; в) 2,9 г) 4.

3. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-2;3). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=5.

а) 0,65; б) 0,96; в) 0,895 г) 0,994.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №11