Тема 15. Елементи теорії кореляції

Мета роботи: вивчити поняття функціональної, статистичної, кореляційно залежності між змінними.

План вивчення теми

1. Функціональна залежність.

2. Статистична залежність.

3. Кореляційна залежність.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Функціональна, статистична і кореляційна залежності

Кожній величині, яку дістають у результаті проведення експерименту, притаманний елемент випадковості, що виявляється більшою чи меншою мірою залежно від її природи.

При сумісній появі двох і більше величин у результаті проведення експерименту дослідник має підстави для встановлення певної залежності між ними, зв'язку.

Ідея зв'язку між змінними величинами має особливе, принципове значення в економетричних дослідженнях, де здійснюється перевірка на адекватність створених математичних моделей реальним економічним процесам, в яких співвідношення між змінними пов'язані функціональною залежністю.

Строгої функціональної залежності між змінними, у буквальному розумінні цього слова, у реальному світі не існує, бо вони перебувають під впливом випадкових факторів, наслідки якого передбачити практично неможливо. Тому між змінними існує особлива форма зв'язку, яку називають стохастичною (про що йшлося в попередніх темах) і яка в математичній статистиці трансформується, не змінюючи своєї сутності, у статистичну залежність.

Наприклад, при дослідженні двох змінних X та зміна значень Х-Хі призводить до такої зміни значень , яку можна розбити на два компоненти: систематичну, що пов'язана із залежністю, котра існує між X та , і випадкову, яка зазнає впливу випадкових факторів.

Показником, що вимірює стохастичний зв'язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв'язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

Значно збільшується цінність коефіцієнта кореляції для випадкових змінних, що мають закон розподілу ймовірностей, близький до нормального. Для таких величин відсутність кореляції одночасно означає і відсутність будь-якої залежності між ними.

Крім цього, як і в дисперсійному аналізі, кореляційний аналіз оцінює, наскільки значні невипадкові змінні у випадкових величинах у процесі проведення експерименту.

За наявності кореляційного зв'язку між змінними необхідно виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме:

, (15.1)

, (15.2)

. (15.3)

Наведені можливі залежності між змінними X і (15.1), (15.2), (15.3) називають функціями регресії. Форму зв'язку між змінними X і можна встановити, застосовуючи кореляційні поля. На основі розміщення точок кореляційного поля дослідник має підстави для гіпотетичного припущення про лінійні чи нелінійні залежності між ознаками X і .

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (X, ) поняття статистичної залежності між ознаками Х та має таке визначення:

статистичною залежністю X від У називають таку, за якої при зміні значень ознаки = у_і змінюється умовний статистичний розподіл ознаки X, статистичною залежністю ознаки від X називають таку, за якої зі зміною значень ознаки Х= змінюється умовний статистичний розподіл ознаки .

У разі зміни умовних статистичних розподілів змінюватимуться і умовні числові характеристики.

Звідси випливає визначення кореляційної залежності між ознаками X і . Кореляційною залежністю ознаки X від називається функціональна залежність умовного середнього від аргументу х, що можна записати так:

Аналогічно кореляційною залежністю ознаки від X називається функціональна залежність умовного середнього від аргументу у, що можна записати, так:

Між ознаками X та може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та , то обов'язково між ними існуватиме і статистична залежність.

Питання для самоконтролю

1. Що означає функціональна залежність між ознаками X та Y ?

2. Дати означення статистичної залежності між ознаками X та Y.

3. Що означає кореляційна залежність між ознаками X та Y ?

4. Що таке коефіцієнт кореляції?

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

4. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль 2. Теорія ймовірностей і математична статистика

Змістовий модуль1. Теорія ймовірностей

Практичне заняття №1