2.5. Условие постоянства объема

Плотность металла в результате пластической деформации изменяется весьма незначительноЭто изменение не имеет практического значения при решении задач, связанных с напря­жениями и деформациями, поэтому обычно принимают следующее условие: объем пластически деформируемого тела остается по­стоянным или, другими словами, объем тела до пластической деформации равен его объему после деформации.

Отсюда не следует, что объем тела в период самой пластиче­ской деформации при его нагрузке внешними силами равен его объему после снятия нагрузки. Пластическая деформация тела всегда сопровождается его упругой деформацией, зависимость которой от напряжений определяется законом Рука ² [12]. Зна­чит, размеры тела в конечный момент его нагружения отличаются от его размеров после снятия нагрузки.

¹ Относится к металлу, уже подвергнутому первичной горячей обработке давлением. В результате же первоначального деформирования литого металла (здорового) плотность его несколько возрастает (доли процента) за счет ликвида­ции имеющихся в нем пустот.

2 Это так называемый закон наличия упругой деформации при пластическом деформировании.

Пусть дана обычная диаграмма растяжения, снятая на испы­тательной машине (рис. 2.5). По оси ординат отложено усилие, по оси абсцисс — деформация. В какой-то момент при усилии, определяемом отрезком Оа, деформация выражается отрезком Ос. Если из точки А провести прямую, параллельную линии ОВ,

где точка В соответствует пре­делу пропорциональности (упру­гости), то отрезок Ос на оси абс­цисс, представляющий собой пол­ную деформацию при нагружен­ном состоянии образца, разделится на две части. Часть (отрезок be) будет представлять собой упругую деформацию, а часть (Ob) — пла­стическую. После снятия нагрузки длина образца уменьшается на величину be, но эта длина будет больше исходной на величину ос­таточной (пластической) дефор­мации, определяемой отрезком Ob. Понятно, что тангенсы углов ВОс и Abe выражают собой модуль Юнга (Е).

При горячей обработке давлением при значительной пласти­ческой деформации наличием упругой деформации можно пре­небречь. Однако в некоторых случаях, например при холодной гибке, упругая деформация очень заметна. В практике это явление называют пружинением. При проектировании технологических процессов с этим необходимо считаться. Так, угол в штампе при гибке «вхолодную» приходится делать несколько отличающимся от требуемого угла изгиба, учитывая угол пружинения.

2.6. Степень деформации и смещенный объем

Возьмем параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат, и с исходными размерами до пластической деформации х_и, F„ и Z„ (рис. 2.6, а). Пусть этот параллелепипед после де­формации остается также параллелепипедом и размеры его будут х_д, К_д и Z_A (рис. 2.6, б). Индексы означают: и — исходный ид — деформированный. По условию постоянства объема

(2.1)

откуда

х_д y

(2.2)

а после логарифмирования (логарифмы берут натуральные для удобства рассмотрения вопросов пластической деформации)

Л_и I _и Ли

(2.3)

или

6* + 6*+ 6, = О,

(2.3а) 03

где

6, = ln^; 8„ = ln-^; б, = 1п^-. (2.4)

Ли 'и £ц

Величины Ь_х, Ь_у и б_г носят название истинных или действительных степеней деформации, а также степеней деформации третьего рода или л о -гарифмических.

Индексы х, у, z при обозначении б показывают, по направле­нию какой координатной оси мы рассматриваем деформацию. Легко видеть, что числовое значение б не изменится, если в числи­теле поставить предыдущий размер, а в знаменателе последующий, в этом случае изменятся только знаки.

В рассматриваемом примере (рис. 2.6) параллелепипед подвер­гался сжатию. Ребро его Z уменьшилось, ребра X и Y увеличи­лись (Z_H > Z_A, Х_и <Х_Д и У_и < К_д). Следовательно, по фор­мулам (2.4) деформация б_г будет отрицательной, а деформации 6^ и б^ положительными (увеличение размера — положительная деформация, уменьшение размера — отрицательная деформация).

Логарифмическая степень деформации представляет собой интеграл бесконечно малого приращения данного размера тела или его элемента, отнесенного к его величине в каждый данный момент деформации, например

На основании равенства (2.3) можно сделать следующие выводы.

1. При пластической деформации алгебраическая сумма ло­гарифмических степеней деформации по трем взаимно перпенди­кулярным направлениям равна нулю.

2. Одна из степеней деформации имеет знак, противоположный знаку двух других, а по абсолютной величине равна их сумме, т. е. максимальна по абсолютной величине.

Степень деформации можно выразить иначе, а именно как отношение приращения размера к начальному размеру:

„ _ Х_д - Х„ Дх . „ _ К_д - К_и _ Ау

Х_и Х_а ' ^у Уа У я '

— Z„ Дг

(2.5)

2_И 2_И

Здесь также положительным величинам степеней деформации соответствует растяжение, а отрицательным — сжатие; г_х, г_ц и е_г носят название степеней деформации первого рода (или просто степеней деформации).

Так как деформации в различных точках тела могут быть различны, т. е. деформация может быть неравномерной, то фор­мулы (2.4) и (2.5) дают лишь средние степени деформации данного тела или его части.С определением значений деформаций в окрест­ностях данной точки тела познакомимся ниже (см. стр. 111).

Величины б и е связаны между собой, например

б, = ln^a- = In 2^±ii= In (l = ln(l + г_х).

Л_и Л_и \ Ли /

Разложим In (1 -+- е*) в ряд

2 3 4

б, = 1п(1 + е_х) = е_х--^- + -^—•••

Этот ряд при г_х <i 1 сходящийся. Отбросив все члены, кроме первого, получим

б* г_х.

При степенях деформации меньших 0,1 разница между б и е меньше 5%, а поэтому для малых деформаций можно считать

б = в (2.6)

и соответственно

e*+Vbez = 0. (2.7)

Умножив все члены равенства (2.3а) на объем деформируемого тела V, получим

V6, + V6, + V6_Z = 0, (2.8)

а для малых деформаций

Уг_х + Ve„ + Ve₂ = 0. (2.8а)