6.5. Понятие о методе верхней оценки*

Метод верхней оценки применительно к плоской деформации разработали В. Джонсон и X. Кудо. Сущность его заключается в том, что объем очага деформации представляется в виде жестких (недеформируемых) блоков (треугольных по В. Джонсону), сколь­зящих один относительно другого и по границам с жесткой зоной. Тем самым действительное поле линий скольжения заменяют полем, состоящим из системы прямолинейных отрезков, образу­ющих треугольники. Вдоль границ блоков — сторон треуголь­ников — компоненты скоростей перемещений претерпевают раз­рывы. Внутри каждого блока поле скоростей однородно, т. е. вектор скорости для всех точек данного блока один и тот же. На этом основании строят поле скоростей, которое при правиль­ном построении всегда является кинематически возможным. Число и размеры треугольных блоков первоначально выбирают произвольно.

Вдоль границ между блоками касательные напряжения, воз­никающие при скольжении блоков, являются максимальными: т_я = k. На свободных поверхностях, как всегда, т„ = 0, а на контактных принимают от т„ = li_so* до предельного значения т„ = k.

Поскольку блоки приняты жесткими, мгновенная мощность внутренних сил, включая контактное трение, выразится уравне­нием

* По А. Д. Томленову — приближенный энергетический метод [105].

219

а» = Е WA. (6-29) где и_п — скорости скольжения вдоль границ треугольных участ­ков, а /„ — длины сторон треугольников при плоской деформации, Ь_п — длина проекции площадки контакта (в направлении оси у), Мощность, развиваемая деформирующей силой Р,

w_A = Рй₀, (6.30)

где и о — скорость движения рабочего органа (скорость деформи- рования).

Приравнивая выражения (6.29) и (6.30) и решая уравнение относительно Р, получим

«о

Для плоской деформации, обозначив ширину проекции пло­щадки контакта вдоль оси х через а, можно выразить удельное усилие р:

Р =

2 InUln

(6.32)

Для примера вернемся к задаче о внедрении плоского пуансона в полупространство и преобразуем непрерывное поле линии сколь­жения, предложенное Р. Хиллом, в кинематически возможное поле, состоящее из жестких треугольных блоков. Для этого за­меним на рис. 6.16 дуги отрезками прямых. Тогда получим поле, представленное на рис. 6.28, а.

Вследствие симметрии поля относительно оси z на этом ри­сунке изображена его правая половина, что достаточно для даль­нейших построений и расчетов. Цифра­ми обозначены: 0 — жесткая неподвиж­ная зона; 1, 2 и 3 — блоки; 4 — сво­бодное пространство; 5 — пуансон. Гра­ницы между зонами и блоками опре­деляются двумя цифрами, например 12 — границы между блоками 1 и 2; 34 — свободная поверхность; 15 — кон­тактная поверхность. Длину соответ­ствующих границ (линий) обозначаем соответственно /₁₂, /₂з ^{и т}- ^п-

Компоненты скоростей блоков, нор­мальные к жестко пластической грани­це, т. е. соответственно к линиям 10, 20, 30, равны нулю, и блоки движутся вдоль указанных границ. Вдоль границ 12 и 23 блоков происходит разрыв ско­ростей.

Для построения годографа (рие. 6.28, б) от центра 0 по верти­кали отложили вектор 05 скорости пуансона ы₀₅, длину которого примем за единицу. Далее от конца вектора проводим линию, параллельную линии 15, а из точки 0— линии 10. Пересечение этих линий определяет точку /, т. е. конец вектора скорости блока /. Продолжая построение подобным образом далее, по­лучим изображенный на рис. 6.28, б годограф. Линии годографа 12, 23 обозначают относительные скорости блоков вдоль линий

разрыва 12, 23 (рис. 6.28, а) ы₁₂ и ы₂₃.

Теперь найдем верхнюю оценку деформирующего усилия. Задачу решим в общем виде, принимая угол ос при основании равнобедренных треугольников как параметр. Согласно выраже­нию (6.32) удельное усилие

Р'0,5аы₀₅ = (/₀iMoi ~\~ lo'z^uo-z ~\~ ^оз^моз "~Ь ^12^12 ~Ь ^гз^гз)^¹

Принимая т„ = k = 0,5а* и выражая скорости и через и_оъ и угол ос, а длины I через а и а, после простейших преобразований получим

*

_{р = -Л- (-J 1- cos оЛ . (6.33)}

" SU1 ОС \ COS ct / ⁴ '

Поле, изображенное на рис. 6.28, а, получено непосредственно из непрерывного поля по Р. Хиллу, и угол а = 45°. Подставляя это значение в уравнение (6.33), получим

р = За*.

Изменяя угол а, можно получить другие значения р. Наиболее правильное, естественно, то значение, которое будет наименьшим.

В данном случае минимум функции (6.33), т. е. величины р, будет при угле а = 55°:

Дх=55° = 2,83а*, (6.34)

что отличается в большую сторону на 10% от значения, получен­ного ранее на основе непрерывного поля линий скольжения (стр. 202).

Можно учесть контактное трение, введя в выражение в скоб­ках в исходном уравнении еще один член %_паЬи_х. Если принять трение максимальным, т. е. т„ = k — а*/2, то

р= (2,83 + 0,61) о',*** 3,4а*. (6.35)

Для рассмотренной задачи получено аналитическое решение. В других сложных случаях можно остановиться на чисто графи­ческом решении, взяв значения сторон треугольников и скоростей непосредственно из чертежа. При этом необходимо построить

221