5.6. Связь между напряжениями и деформациями при пластическом деформировании

Связь между напряжениями и деформациями при пластическом деформировании может быть выведена на основании следующих экспериментально установленных положений.

В каждый данный момент активной пластической деформации, по крайней мере в условиях простого нагружения:

1. направления главных линейных деформаций (удлинений) совпадают с направлениями главных нормальных напряжений;

2. диаграмма Мора для деформаций (в координатах е и Y) геометрически подобна диаграмме Мора для напряжений (в коор­динатах о и т).

Для получения необходимых выводов следует учесть, кроме того, условие постоянства объема

^ei + ^еа + ^ез = е* + Ч + ^ег = ⁰

(е — для малых деформаций).

Деформация, согласно А. А. Ильюшину, будет в данный мо­мент активной в том случае, если интенсивность напряжений О; (стр. 94) имеет значение, превышающее все предшествующие ее значения. Если а_{ меньше хотя бы одного из предшествующих ее значений, то деформация элемента будет пассивной.

Ограничение, по крайней мере в условиях простого нагружения, вытекает из «теоремы о простом нагружении», выведенной А. А. Ильюшиным (331. Процесс нагружения тела является простым, когда «внешние силы от начала их приложения возрастают пропорционально общему параметру».

Рис. 5.5

Построим для какой-либо точки, находящейся в пластическом состоянии, диаграммы Мора для напряжений и деформаций (рис. 5.5).

На основании положения о подобии диаграмм Мора для напря­жений и деформаций непосредственно из чертежа (рис. 5.5) полу­чим (учитывая знаки деформаций)

62-

Pf — Р2 ^Е1 — ^е2 р₃ —pi

= 2G';

(5.24)

2G' взят как коэффициент пропорциональности. Смысл его бу­дет выяснен в дальнейшем.

Возьмем из уравнения (5.24) выражение

Рэ — Р.з _ 2Q'

и, заменив в нем на основании условия постоянства объема —е₃ на 8_Х + е₂, определим е₂:

Ч

__ р₂ — Рз — ^2G'g< 40'

Возьмем теперь из уравнения (5.24) выражение 6] — е₂

и, подставив в него найденное значение е₂, получим

4G'

а₂ — а₃ — 2G'ej

о_х — о₂ = 2G'

Решив это уравнение относительно ej и поступив аналогично с другими сочетаниями уравнений (5.24), получим

^{Ч = -g^r [cr}_a ^{— -j- (o}₂ ^{+ a}₃^{)J ;}

4 = -^r[°2 y(°з + <*i)] ;

^e3 = l^[⁰8-4-(^ffi + ^a2)]-Обозначив 3G' через окончательно получим

^ei == -]h- [°i — -j (^ff2 -f a₃)] : j ^{82 =} T⁷" [°² ~ T^((Тз + ^ffl>]'» I

(5.25)

(5.25a)

Так как при пластической деформации объем тела не изменя­ется Ег + е_а = 0), то коэффициент 1/2 в уравнении (5.25а) при суммах напряжений представляет собой коэффициент Пуас­сона. Отсюда следует, что выражения пластических деформаций 8 совершенно аналогичны выражениям для упругих деформаций, с той лишь разницей, что модуль упругости первого рода Е заме­нен коэффициентом Е'. Этот коэффициент называют [3] моду­лем деформации (или модулем пластично­сти) первого рода.

Модуль упругости второго рода G связан с модулем Юнга Е соотношением

G =

+ Ы '

Приняв коэффициент Пуассона \i_p = 0,5, имеем G = ±E.

G'

Из сравнения уравнений (5.25) и (5.25а) вытекает, что в слу­чае пластической деформации 1

(5.26)

Таким образом,С является моду- 6 лем деформации второго рода.

Существенная разница между мо- дулями упругости £ и G, с одной стороны, и модулями деформации £" и С — с другой, состоит в том, что первые величины постоянные — кон- станты материала, а вторые являются величинами переменными, могущими принимать различные значения, из ко- торых каждое действительно только для одного какого-либо момента про- цесса деформации. Рис. 5.6

Из рис. 5.6 видно, что Е = tg а, а Е' = tg а', причем а' является переменным. Отсюда можно охарактеризовать значение Е' следующим образом. Если бы с самого начала деформации модуль имел данную величину £", то при получении элементом тела данной деформации е величина напряжения была бы £'е.

Пусть о₂ = oi. Подставив это значение в первое и второе уравнения (5.25а), получим

ex = -jr [°i — 4" (°i + °в)] ^ ^е2 = -gr [oi - 4" (°i + ⁰з)] •

Таким образом, если два напряжения равны между собой, то равны и соответствующие деформации.

Если деформированное состояние плоское, то одна из дефор­маций равна нулю. Подставим е₂ = 0 в среднее уравнение (5.25), тогда

^{<?2 — 4" (°i + о}_я^{) = О}

или

Таким образом доказано ранее принятое положение, что при плоском деформированном состоянии напряжение в направле­нии отсутствующей деформации равно полусумме двух других.

Подставим в то же уравнение (5.25) а₂ = 0, т, е. будем иметь в виду плоское напряженное состояние

_ 1 qi + c₃

Таким образом, при плоском напряженном состоянии деформа­ция в направлении отсутствующего напряжения пропорциональна полусумме двух других, т. е. среднему напряжению.

Наконец, из уравнений (5.25) видно, что деформация имеет положительный знак, если соответствующее ей напряжение больше полусуммы двух других (алгебраически).

Вернемся к диаграммам Мора для напряжений и деформаций (рис. 5.5). Из их подобия следует

0₂в _ О'ф' АС ~ А'С '

а выражая отрезки через напряжения и деформации с учетом зна­ков (направлений) отрезков, получим

+ ₀ В) + г₃

С₂ к 8₂ Я

Si:

или

(5.27)

20₂ — CTi — <У₃ 2к₂ — ej ■

C_t — 0₃ В! ■

(5.27а)

Поскольку на рис. 5.5 принято ai > a₂ > a₃, то левая часть равенства (5.27) представляет собой не что иное, как величину v_g [см. уравнение (5.20)]. Правая часть построена аналогично левой. Если левая часть характеризует напряженное состояние, то пра­вую часть можно считать характеристикой деформированного состояния. Обозначив последнюю v_e, можем написать

у о = v_e, (5.28)

что дает еще одну форму выражения связи между напряженным и деформированным состоянием.

Пользуясь интенсивностями напряжений o_t и деформаций &_h можно написать обобщенное уравнение связи напряжений с де­формациями

о,- = Е'ц. (5.29)

Интенсивность деформаций е_г при пластическом формоизме­нении определяет степень упрочнения материала. Можно утвер­ждать, что интенсивность напряжений при пластической дефор­мации является функцией интенсивности деформаций

а, = Ф(е₄). (5.29а)

Кривую o_t — можно построить на основании опытных дан­ных.

Если считать материал несжимаемым и пренебрегать измене­нием его плотности при деформации, то зависимость между интен­сивностями напряжений и деформаций в точности совпадает с диа­граммой истинных напряжений при растяжении, поскольку при простом растяжении а, равно растягивающему напряжению, а е,- — относительному удлинению. 142

Заменяя в правых частях уравнений (5.25а) суммы двух напря­жений через разности утроенного среднего напряжения и третьего напряжения (например, o_t + о_г = Зо_ср — а₈) и выражая из уравнения (5.29) модуль пластичности

(5.30)

можно получить уравнения связи напряжений и деформаций в следующей форме:

(5.31)

Уравнения (5.25) и (5.31) действительны и в том случае, если главные напряжения и деформации заменить напряжениями и деформациями, данными в произвольных осях х, у, г. Однако при этом необходимо добавить еще три уравнения, связывающие касательные напряжения т и сдвиги у, а именно:

(5.32)

Приведенные уравнения связи напряжений и деформаций ле­жат в основе теории так называемых малых пластических дефор­маций. Особенностью этих уравнений является то, что коэффи­циент пропорциональности определяется упрочнением металла и, следовательно, представляет собой функцию деформации. В другой теории, а именно так называемой теории пластиче­ского течения, за основу положена связь напряжений со скоростями деформаций (приращениями деформаций). Предпосылки для уста­новления этой связи аналогичны указанным ранее при рассмо­трении связи напряжений и деформаций:

1. направления скоростей главных линейных деформаций сов­падают с направлениями главных нормальных напряжений;

2. диаграмма Мора для скоростей деформаций геометрически подобна диаграмме Мора для напряжений;

3. объем тела принимается постоянным, что определяется выражением

ei + е₂ + е₃ = е_х + г_у + е_г = 0.

Коэффициенты пропорциональности в уравнениях связи будут другие: вместо обозначений G' и Е' примем обозначения Си Е". При этом

(5.33)

Таким образом, в теории течения принято, что интенсивность напряжений (напряжение текучести) для каждого материала явля­ется функцией интенсивности скоростей деформации

а, = ер (ё,) = Е\. (5.34)

Все уравнения связи напряжений и скоростей деформаций можно написать по аналогии с уравнениями напряжения — дефор­мации. Следует лишь заменить в последних обозначения дефор­маций обозначениями скоростей деформаций, а равно заменить коэффициенты пропорциональности: например, вместо уравнения (5.24) будет действительно уравнение

Qi — Q2 __ р₂ — Оз _ ^рз — Qf _

8l — 8₂ 8₂ — ё₈ ё₃ — ef

Теория течения при использовании динамических уравнений равновесия дает возможность решать задачи динамики при пла­стическом деформировании, а также учитывать сопротивление, зависящее от скорости деформации [уравнение (5.34)]. Эта теория позволяет описать процесс установившейся ползучести.

В случае медленной и непродолжительной деформации дефор­мационная теория и теория течения являются тождественными. При линейной связи интенсивности деформаций со временем интен­сивность скоростей деформации не зависит от времени и, следо­вательно, интенсивность напряжений согласно уравнению (5.34) также постоянна по времени [3, 34].