1 Интеграл (6.1) можно также записать в форме f

Р= \o_BdF.

Для определения деформирующего усилия необходимо рас­пространить выражение (д) по всей площади проекции А'В' кон­тактной поверхности АВ на плоскость, перпендикулярную к дви­жению инструмента, т. е. ¹

P=l\a_BdF.

(6.1)

Решение интеграла (6.1) в принципе всегда возможно, если можно выразить о_н как функцию координат точек, расположен­ных на площади проекции F, или, наоборот, выразить эти коорди­наты через координаты, в которых дано напряжение а_н.

При отнесении к прямоугольным координатам выражение (6.1) примет вид

^{Р = IJ o}_H^{dydx, (6.1а)}

F

а при отнесении к полярным координатам

^P=JJff_H^{pdpdO. (6.16)}

F

Выражения (6.1) остаются в силе и в том случае, если активное усилие передается через недеформируемые участки тела.

Во многих случаях, когда о_н является функцией только одной координаты, надобность в двойном интегрировании практически отпадает, что будет видно из дальнейшего.

Если нормальное напряжение а_а представляет собой величину постоянную или может быть заменено его средней величиной, то в выражении (6.1) о_н можно вынести за знак интеграла:

Р = o_HF (при or_H = const). (6.2)

Выражение (6.2) соответствует известному из гидравлики поло­жению, что сумма проекций (на какую-либо ось) давлений, испыты­ваемых криволинейной стенкой, равна давлению, умноженному на проекцию стенки на плоскость, перпендикулярную к упомянутой оси.

Принцип замены проецирования сил проектированием поверх­ностей контакта применительно к обработке давлением впервые рассмотрен И. М. Павловым [64] и обобщен С. И. Губкиным [12].

Деформирующую силу считаем всегда положительной, поэтому в дальнейшем подставляем в формулы (6.1) абсолютные значения нормальных напряжений.

Рассмотрим пример решения интеграла (6.1). Пусть цилиндри­ческий пуансон с шаровым концом (рис. 6.2) внедряется в пластиче­скую среду (металл), ограниченную плоскостью (распространение рассматриваемой среды в стороны и в глубины принимается доста­точно большим по сравнению с размерами пуансона).

Распределение нормальных напряжений на поверхности кон­такта при отсутствии трения А. Д. Томленов выражает форму­лой [105]

°н = o_s (l +i__Y).

Таким образом, напряжение о„ есть функция только угла у. Интеграл (6.1) в данном случае удобно применить в форме (6.16)

^Р_{= IKO +-r-y)pdpdQ.}

F '

Напряжение о_н можно выра­зить также через координаты то­чек проекции контакта (рис. 6.2)

sin v = -*р

отсюда

arcsin

у = arcsin -— ;

R

Он = <*« ( 1 + "J" ~

и, следовательно,

F ^х

— arcsin р dp dQ.

Интегрировать необходимо в пределах и от р = 0 до р = г.

г 2я

^{Р = ^ dp j o}_s^{(l + ~ arcsin \ pdQ.}

oo

Интегрируя no Э, имеем

r

P = 2jto_s J (1 + 4}- — arcsin -£Л p dp, о

а интегрируя no p, получим

P = nr\ [l -f-i arcsin

lai/TTTZIi.

2 г V ¹ R* J •

Для предельного случая, когда г = R, Р = nR²o_s (1 + « 1,8л7?Х-

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Так как в рассматриваемом случае напряжение о_н не зависит от координаты 0, то элементарную площадь можно взять в виде (рив. 6.3)

dF = 2л.р dp и на основании уравнения (6.1) написать

г

Р= |2жт₁(1 + 4]--т)рф, (е)

о

т. е. заменить двойной интеграл одинарным (стр. 173).

В приведенном решении мы выражали координату у через координату р. Можно поступить иначе. Из рис. 6.2 видно, что

р = R sin у

и

dp = R cos у dy.

Подставляя значения р и ф в выражение (е), получим Р = J 2nR²o_s (1 + -J- — y) sin у cos у dy,

0

и, интегрируя, получим

P - 2яЯ»о. [ (1 + - Y_K) sin' Yk + ^2V*-₄^Sl"^2YK] •

Подстановка предельного значения Yk — ⁿ№ в полученное выражение даст

/> = _n/?«o,(l + ij-)~ ^Wo»«

как это быЛо и ранее. 176

Необходимость вычисления интеграла (6.1) в некоторых слу­чаях отпадает^ если учесть его геометрический смысл. Пусть на рис. 6.4 представлена эпюра нормальных напряжений о_н на пло­скости контакта, нормальной к направлению движения инстру­мента. Легко видеть, что величина а_н dF представляет собой объем элементарной призмы dV₃. Отсюда следует, что

P=\\o_HdF^\\ dV₃ (6.1в)

F F

или

Р = v„

т. е. величина усилия равна объему У_э эпюры нормальных напря­жений, построенной на контактной плоскости [105]. Таким обра­зом, представляется возможным заменять вычисление интеграла (6.1) вычислением объема по стереометрическим формулам, что иногда значительно проще [105], чем мы и воспользуемся в даль­нейшем.

Касательные напряжения т_к на контактной поверхности по­движного инструмента также могут дать равнодействующую по на­правлению движения инструмента (например, в случае, представ­ленном на рис. 6.2, при наличии трения при осадке заготовки с клинообразным сечением).

Легко доказать, используя способ, применяемый при определе­нии деформирующего усилия Р, вызываемого нормальными напря­жениями, что равнодействующая касательных напряжений Р_х определяется выражением

P_x=\\x_KdF_x, (6.3)

где F_T — проекция контактной поверхности на плоскость, п а -раллельную направлению движения инструмента.

Интеграл (6.3) необходимо, например, вычислять для определе­ния крутящего момента на прокатных валках.

Напомним, что определить деформирующую силу возможно не только по распределению напряжений на контактной поверх­ности. В ряде случаев возможно найти величину этой силы по рас­пределению напряжений в каком-либо характерном сечении дефор­мируемой заготовки, например в плоскости симметрии поковки при осадке или штамповке. Такие случаи будут разобраны в даль­нейшем (стр. 322).

Делением деформирующего усилия Р на соответствующую площадь F [см. уравнение (6.1)1 получим удельное усилие де-

177

формирования, или, что то же, среднее давление деформиро­вания ¹:

Р =

F

(6.4)

Знание удельного усилия деформирования при данном процессе обработки давлением позволяет определить полное деформирующее усилие для заготовки любых размеров.

Удельное усилие деформирования почти всегда можно предста­вить как

р = шо₆, (6.5)

где т — некоторый безразмерный коэффициент, зависящий от вида осуществляемого процесса, относительных размеров и формы, деформируемой заготовки и контактного трения.

Удельное усилие р, как и деформирующее усилие Р, будем счи­тать всегда положительным. В свою очередь о_$ зависит от природы деформируемого металла, его состояния (упрочнения), темпера­туры и скорости деформации и масштабного коэффициента. Следо­вательно, значение o_s при определении р следует выбирать на осно­вании экспериментальных данных в соответствии с условиями де­формации; в его значение в случае надобности надо внести по­правки, используя соответствующие коэффициенты (скоростной, масштабный и т. п.).

Определение удельного усилия деформирования имеет сущест­венное значение для практики и является основной задачей сило­вого анализа процессов обработки металлов давлением.

¹ Термин «удельное усилие» можно применить во всех случаях; термин же «среднее давление» уместен только при сжимающей силе Р. Весьма распростра­ненный термин «удельное давление» заключает плеоназм, поскольку давление само по себе представляет удельную величину.

В последнее время стали пользоваться, кроме того, термином «рабочее на­пряжение» (С. И. Губкин, И. Л. Перлин).

Ранее было выяснено, что если известен закон, определяющий величину нормальных напряжений на поверхности контакта, то можно вычислить деформирующее усилие, решая интегралы (6.1). Значительно труднее установить величину и распределение на­пряжений. Для этого существуют различные методы, к рассмо­трению которых мы и переходим. В основе их лежат одни и те же законы. При этом всегда принимается, что деформируемая заго­товка является однородным телом с одинаковыми физическими и механическими свойствами во всех ее точках, т. е. остается в силе исходная предпосылка, в разрезе которой строилась теория на­пряженного состояния (стр. 77).