3.9. Диаграмма напряжений мора

Диаграмма напряжений по О. Мору (или круги Мора) дает графическое представление о совокупности векторов напряжений нормального о_н и касательного т„ действующих в различных наклонных площадках, рассматриваемых в системе главных осей. Диаграмму эту строят, откладывая величины нормальных напряжений а_н по оси абсцисс, а корреспондирующих им каса­тельных напряжений т — по оси ординат.

Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется выражением (ЗЛО):

о_н = oifli + а₂«2 4- °з«з-

Вместе с тем из уравнений (3.11) и (3.10) следует

2,2 22, 22, 22

Он 4" ^т = °i^ai + °2^а2 4" °заз-

(3.34)

Кроме того, напишем известное условие для направляющих косинусов в виде

1 2' , 2 . 2

1 = ai 4" @2 4~ а₃.

(3.35)

Умножим обе части уравнения (3.10) на (о₂ 4- о₃), затем почленно вычтем результат из уравнения (3.34) и прибавим сюда почленно уравнение (3.35), предварительно умножив обе части его на о₂о₃. Таким образом, получим

Он 4- т² — о_н (о₂ 4- а₃) 4" °20з = о\а\ -\-

4- о!з2 4- °1аз — (о₂ 4" о₃) {pi<x\ + о₂а² 4" °з°з) 4~

4- о₂аз(а²4-а2 4-аз).

(а)

Прибавляя к обеим частям уравнения (а) по ^ °³ + °³ j _f после элементарных преобразований получим

+ a? (oi — 03) (oi — о₂). (3.36а)

Применяя ту же методику, выведем еще два аналогичных

уравнения

. 2

(а_и--^)Ч^(^)^! + + а\ (о₂ - oi) (о₂ - о₃); (3.366)

^{(^-4i),+f-(^-y +}

-f аз (о₃ — о₂) (о₃ — oi). (З.Збв)

Из сравнения полученных уравнений (3.36а, б и в) с извест­ным из аналитической геометрии уравнением окружности

[х - х₀у + (у~- у₀У = R*

можно заключить, что уравнения системы (3.36) также опреде­ляют окружности. Центры их расположены на оси абсцисс (на оси а_н) и отстоят от начала координат соответственно для урав­нений (а), (б) и (в) на расстояния

Д₂ + о₃ . о₃ + <*1 „ о< +сг₂ 2 ' 2 2'

В правых частях уравнений (3.36), представляющих собой квадрат радиуса R окружности, есть изменяемый параметр (а_и а_г и а₃). Поэтому каждое из уравнений (3.36) является уравне­нием семейства концентрических окружностей.

Уравнения (3.10), (3.34) и (3.35) определяют корреспонди­рующие значения напряжений о_н и т для заданных условий. При математическом преобразовании этих уравнений в систему (3.36) физический смысл остается неизменным.

Таким образом, первое уравнение системы (3.36) определяет в виде окружности геометрическое место точек о_н и т для того или иного заданного значения направляющего косинуса а_х. То же справедливо и для двух других уравнений системы.

Следовательно, для заданной возможной [т. е. удовлетворяю­щей уравнению (3.35)] группы значений направляющих косину­сов а_х, а₂ и а₃ величины о_н и т определяются (рис. 3.6) точками Р пересечения трех окружностей.

Выясним далее, в какой зоне могут быть расположены эти точки. Примем условие о_х >а₂^а₃, т. е. индексом 1 обозначим наибольшее (алгебраически) по величине главное нормальное

напряжение, индексом 3 — минимальное, а индексом 2 — среднее, промежуточ­ное. Это условие всегда можно соблюсти, посколь­ку оси координат равно­правны.

Определим величины радиусов R_lt R₂ и R₃ ок­ружностей, заданных уравнениями (а), (б) и (в) системы (3.36) при значе­ниях направляющих коси­нусов соответственно

cos а_х = а_х = 0;

cos а.₂ = а₂ = 0 и

cos а₃ = а₃ = 0,

т. е. для углов а = 90°

<2 (а,=0)

R

3 (а₃=0)

Rl (а,=0) =

а2	—	о3
	2
	—	<?3
	2
0,	—	а2

(3.37а) (3.376) (3.37в)

Как видно из уравнений (3.36а) и (З.Збв), при увеличении значений а_х и а₃ радиусы соответствующих окружностей уве­личиваются. А это значит, что возможные пары значений о_в ит находятся на самих окружностях радиусов Ri _(о,=0) и Rs (а,=о> или вне их, но не могут располагаться внутри.

Если же увеличивается значение а₂, то радиус R₂ умень­шается, поскольку разность о₂—о_х отрицательна согласно при­нятому выше соотношению главных напряжений, и, следовательно, значения о_н и х располагаются внутри окружности радиуса R% при а₂ = 0.

Проведя окружности радиусами fli<_Ol=0), R_{2 (аг}=о) и #₃ (а,=оь по уравнениям (3.37) из ранее указанных центров получим диаг­рамму Мора (рис. 3.7). Пары корреспондирующих значений а_н и х лежат внутри заштрихованных криволинейных треугольни­ков, ограниченных проведенными окружностями — «главными кругами» Мора. На рис. 3.7 также отмечены характерные точки (А, В, С, D, Е, F) диаграммы.

Из формул (3.37) видно, что радиусы кругов численно равны величинам главных касательных напряжений.

При помощи построения, показанного на рис. 3.8, по задан­ным углам а_1р а₂ и а₃ можно определить значения а_н и х в наклон-