8.6. Вытяжка с утонением стенки

Вытяжка о утонением етенки характеризуется тем, что зазор между пуансоном и матрицей берут заведомо меньше толщины стенки заготовки, которая в процессе вытяжки получает пред­намеренное утонение. Обычно вытяжка с утонением стенки яв­ляется последующим переходом вытяжки, когда заготовкой является полученная в предыдущих переходах полая тонкостен­ная цилиндрическая заготовка (стаканчик), причем внутренний диаметр заготовки в этой операции изменяется обычно незначи­тельно.

Особенностью этой операции (рис. 8.22) является наличие значительных нормальных напряжений, действующих на кон­тактных поверхностях, а также разное направление сил трения, действующих по наружной и внутренней поверхностям заготовки. Различие в направлении сил трения следует из того, что при вы­тяжке заготовка протягивается через матрицу, а следовательно, силы трения по наружной поверхности ориентированы противо­положно направлению вытяжки; в то же время за счет утонения заготовка удлиняется, и в очаге деформации заготовка скользит по пуансону противоположно вытяжке, а следовательно, силы трения по внутренней поверхности заготовки ориентированы по направлению вытяжки.

При вытяжке с утонением стенки очаг деформации обычно мал по сравнению с размерами заготовки и на протяжении почти всего процесса деформирования ограничен в осевом направлении с обеих сторон недеформируемыми участками стенок заготовки.

Вытяжка с утонением стенки происходит в условиях объем­ной схемы деформации, причем все три главные деформации в общем случае не равны нулю. Однако без большой погрешности можно принять, что вытяжка с утонением стенки происходит в условиях плоского деформированного состояния.

При вытяжке с утонением стенки не происходит изменения внутреннего диаметра заготовки и наибольшее изменение диаме­тральных размеров претерпевает ее на­ружная поверхность.

Величина относительной тангенциаль­ной деформации наружной поверхности может быть определена как

2 As

где As = s₀ — s_t — уменьшение толщины при вытяжке, a d_x — исходный наружный диаметр заготовки. В обычных условиях вытяжки с утонением стенки s_d < 0,1, а средняя (по толщине) деформация изме­нения диаметра e_dcp < 0,05. Это обсто­ятельство и позволяет в первом приближении считать деформиро­ванное состояние плоским. Экстремальными линейными дефор­мациями являются деформации уменьшения толщины и увеличе­ния длины заготовки.

Исходя из схемы внешних сил, приложенных к очагу дефор­мации, можно заключить, что схема напряженного состояния разноименна. Действительно, сила Р_х (см. рис. 8.22), приложен­ная к донной части заготовки, вызывает появление растягива­ющих напряжений, действующих вдоль образующей заготовки, как в ее протянутой части, так и в очаге деформации. Эти растя­гивающие напряжения максимальны на границе между очагом деформации и стенкой заготовки, получившей заданное утонение, и убывают до нуля на входе в очаг деформации. В то же время нормальные напряжения иа контактных поверхностях вызывают сжимающие напряжения в направлениях, перпендикулярных к контактным поверхностям.

Так как вытяжка с утонением стенки ведется обычно в усло­виях хорошей смазки (р < 0,2) и нормальные напряжения па контактных поверхностях не превышают напряжения текучести, то касательные напряжения на контактных поверхностях должны быть значительно меньше т₅. В этих условиях нетрудно показать, что нормальное напряжение на контактной поверхности незна­чительно отличается по величине от главного, а главная ось отклонена от нормали к контактной поверхности на угол, не пре­вышающий 6°. Разные направления сил трения на контактных поверхностях пуансона и матрицы позволяют принять, что ка­сательные напряжения вдоль дуги радиуса р почти не изменяются (рис. 8.23).

С учетом высказанных соображений можно представить пред- положительное поле напряжений в очаге деформации и возмож- ные его изменения в зависимости от ус- ловий трения на контактных поверхно- стях при вытяжке в конической мат- рице. При отсутствии трения на кон- тактных поверхностях главные напря- жения перпендикулярны контактным поверхностям, траектории / главных напряжений в этом случае будут пред- ставлять собой сетку, составленную из радиусов и дуг окружностей, проведен- ных из точки пересечения образующей конуса матрицы и образующей пуан- сона (рис. 8.23). Линии 2 скольжения в этом случае будут представлять собой логарифмические спирали, пе- ресекающие радиусы и дуги окруж- ностей под углом 45° (линии 2 на рис. 8.23). Рис 8.23

В реальных условиях деформирования, когда т = цв_н, т. е. при наличии скольжения поверхности заготовки по поверхностям рабочего инструмента и при малых значениях коэффициента тре­ния, траектории главных напряжений незначительно отличаются от линий, соответствующих вытяжке без трения. На рис. 8.23 (линия 3) намечена одна пара траекторий главных напряжений при д. = 0,1. Построение это основывалось на том соображении'; что угол пересечения поперечной (а—б) траектории главных напряжений с текущими радиусами является постоянной вели­чиной для данной траектории главных напряжений (т постоянно по углу). Траектории главных напряжений (поперечные) в этом случае являются логарифмическими спиралями, причем угол подъема этих спиралей различен для разных участков очага деформации, соответствующих той или иной точке в зависимости от значения ц, и величины нормального напряжения.

Приведенные построения показывают, что при вытяжке с с утонением очаг деформации приближенно можно ограничить дугами окружностей, проведенными через крайние точки контакта заготовки с коническим участком матрицы в зоне утонения.

Рассмотрение условий деформирования при вытяжке с уто­нением стенки показывает, что этот процесс весьма сложен и точ­ное решение задачи по отысканию поля напряжений затрудни­тельно. Для приближенного решения задачи можно использовать различные методы, рассмотренные ранее.

Анализ полей напряжений при вытяжке с утонением был вы­полнен методом решения приближенных уравнений равновесия и условия пластичности [991, методом характеристик [121], мето­дом баланса работ [78]. Решения были получены при значитель­ной схематизации реальных условий деформирования с учетом различного числа факторов, влияющих на процесс деформирова­ния.

Рассматривая возможности различных методов применительно к вытяжке с утонением стенки, можно прийти к заключению, что наиболее подходящим является метод баланса работ. Осно­вания к такому суждению следующие. При вытяжке с утонением стенки смещения элементов заготовки на противоположных кон­тактных поверхностях (по матрице и по пуансону) существенно различны. Влияние различия смещений на силовые условия деформирования в методе баланса работ учитывается через работы сил трения. В то же время ни метод характеристик, ни инженерный метод, которые основаны на уравнениях стати­стического равновесия, не могут учесть влияния этого различия смещений.

Проведем анализ вытяжки-" с утонением стенки, основываясь на методе баланса работ. Особый интерес представляет отыскание напряжений а_г, действующих в стенках протянутой части заго­товки на этапе установившегося процесса деформирования, когда размеры очага деформации остаются постоянными. 402

Для приближенного определения величины этих напряжений исполь­зуем уравнение равенства работ внешних и внутренних сил для все­го объема очага деформации. Заме­ним, что при решении задачи по оты­сканию поля напряжений в очаге деформации уравнение равенства ра­бот необходимо относить к беско­нечно малым элементам очага дефор­мации [78].

Схема очага и принятые обозна­чения приведены на рис. 8.24. Для решения целесообразно использо­вать полярную систему координат.

Решения по методу баланса работ применительно к вытяжке с утоне­нием, сходные с изложенными ниже, даны в работе [70], а для ряда других операций о локальным очагом деформации в ра­боте [122].

Приближенное определение величины а_г по методу баланса работ основано на равенстве

Л_в ~ Л_д,

где Л_д — работа внутренних сил или же работа деформации; Л_в — работа внешних сил, включающая работу активных сил, вызывающих пластическую деформацию (в данном случае силы, приложенной к стенкам протянутой части заготовки), и работу сил трения, которая противоположна по знаку работе активных сил

Л_а — Л_т.

Так как очаг деформации имеет две контактные поверхности (по пуансону и по матрице), работу сил трения целесообразно разделить на две составляющие

А_т = Л_тм -J- Л_тп,

где А_ты — работа сил трения на поверхности контакта с матри­цей; Л_тп — работа сил трения на поверхности контакта с пуан­соном.

Работу деформации также можно разделить на составляющие А_д = A_xR + А_Х[ + А_а,

где A_xR — работа деформации на верхней границе очага дефор­мации; А_хг — работа деформации на нижней границе очага деформации; Л_с — работа деформации в самом очаге деформации.

Основанием к такому разделению является разный характер деформирования элементов заготовки в самом очаге деформации

и вблизи его границ. В очаге деформации, как было показано ранее, касательные напряжения т_р6 невелики, напряжения ст_р и а_е незначительно отличаются от главных напряжений, а сме­щение элементов происходит по траекториям, е достаточной точностью совпадающим е направлением радиусов. В то же время на верхней и нижней границах очага деформации происходит значительное изменение траекторий движения элементарных ча­стиц, и это изменение должно соответствовать возникновению значительных сдвиговых деформаций у_рв ~ у. Таким образом, вблизи границ очага деформации сдвиговая деформация преоб­ладает над линейными деформациями е_р и е_е, а следовательно, и касательные напряжения т_рй здесь значительные.

С некоторым преувеличением можно принять, что на грани­цах очага деформации с недеформируемыми частями заготовки касательное напряжение по гипотезе максимальных касательных

напряжений т_р9 = т, = -у-.

Из приведенных соотношений можно получить выражение искомой работы активных сил через составляющие работы внеш­них и внутренних сил

4 = А* + 4 л + А* + Л _м + А

(8.131)

Найдем выражения этих составляющих через элементарное перемещение пуансона относительно матрицы п. Из условия постоянства объема величина соответствующего перемещения материальных точек в радиальном направлении на нижней гра­нице очага деформации определится соотношением

Sx/i = rah_n (а)

где Si — толщина стенки после утонения.

Из очевидного геометрического соотношения (см, рис 8.24) имеем S! = rsina. Подставим это значение s_x в ранее получен­ное соотношение (а):

(при а < 20° можно принять, что а ^ sin а, и тогда h h_r).

Радиальное смещение любого элемента 1г_р, выраженное че­рез h_n определится также из условия постоянства объема (пре­небрегая сдвигами в очаге деформации):

(8.133)

Из формулы (8.133) радиальное смещение на наружной гра­нице очага деформации (при р = R) имеет величину

(8.134)

Полученные выражения (8.132) — (8.134) для смещения точек в очаге деформации позволяют определить отдельные составля­ющие работ внешних и внутренних сил. Так как все элемен­тарные перемещения соответствуют одному и тому же проме­жутку времени, то вместо уравнения баланса работ можно .использовать уравнение равенства мощностей деформаций, в котором вместо деформаций следует подставлять скорости дефор­мации [102].

Уравнение равенства мощностей имеет вид:

N_a = N_c + N_xR + N_xr + Л/_Тм + N_Ta. (8.135)

Как известно, работа деформации определяется уравнением

А_а = JJJ a^&i dV. (8.136)

v

Применительно к очагу деформации при вытяжке <? утонением стенки в случае деформирования без упрочнения a_t = ct_s; ds_{ =

= -у~- de_e (для плоской деформации de_p = —ds_e; dy_pe, как

отмечено ранее, близко к нулю). Учитывая малую разницу между d&i и ds_e, а также приближенность данного решения, примем,

h т

что dz_t = de_e. В то же время de_e = ~у — ~^^пп dV = pocdp.

Подставляя значения a,-, de,-, dV в формулу (8.136) и заменяя пределы интегрирования (а = const; размер очага деформации в направлении, перпендикулярном к чертежу, равен единице), получаем

R

^А_а ^{= o}_s^{arh, f -у- = o}_s^{arh, In -у-. (8.137)}

г

Перейдем к определению составляющих работы, вызванных действием касательных напряжений на внешней и внутренней границах очага деформации.

Элементарная сила, вызванная действием касательных на­пряжений на границах очага деформации:

для наружной границы очага деформации (р = R)

%_SR dQ = ~ a_sR d0;

для внутренней границы очага деформации т.г d8 = -4- a,rd8.

Путь, на котором работает эта сила (рис. 8.24): для наружной границы

h_RtgQ = /v^rtgO;

для внутренней границы h_r tg 0. ,

С учетом изложенного элементарная работа касательных сил на наружной границе очага деформации

о

= — -у- rh_f In cos а = — — rh_f In (1 — 2 sin² ^ ^o//i, sin²(8.138)

Замена логарифмической функции первым членом разложе­ния ее в ряд по приведенной схеме не может привести к значи­тельным погрешностям, так как при вытяжке с утонением обычно угол а < 20°.

Проводя интегрирование на нижней границе очага деформа­ции, а также заменяя логарифмическую функцию первым членом разложения ее в ряд, получаем

а

A_xr = j-yr/i_ftgede^o//i_fsln²~-. (8.139)

о

Как видно из формул (8.138) и (8.139), при принятых допу­щениях работы сдвига на границах очага деформации одинаковы.

Определим далее составляющие работы, вызванные действием сил трения на контактных поверхностях.

Нормальные напряжения на контактных поверхностях при­ближенно определим без учета влияния касательных напряже­ний на контактных и граничных поверхностях на поле напря­жений в очаге деформаций. В этом случае о_р и сг₀ являются глав­ными нормальными напряжениями и интегрирования уравнения

равновесия ^р-^-+ о_р — о_е = 0^ с условием пластичности

(о_р — о_е = o_s) при граничном условии, когда р = R, о_р = 0, дает

о₀ — a. In . .„ _, , .

* - a_e = -a_s(l-ln *

В этом случае элементарная сила трения на контактных по­верхностях определится выражением

ро₀ dp = ро_ь (1 - In -5-) dp. (8.140)

Знак напряжения о_е учитывать не следует, так как в данном случае это напряжение рассматривается как внешнее контактное напряжение, а знак сил трения определяется направлением

406

смещения элементов заготовки относительно поверхности инстру­мента.

Силы трения являются реактивными, что учтено знаком в в уравнении (8.135): силы трения положительны, если они затруд­няют деформирование, и отрицательны, если они способствуют деформированию, уменьшают активную силу.

При перемещениях пуансона на h элементы заготовки смеща­ются по поверхности матрицы в направлении вытяжки на вели­чину h_p—~h_r и силы трения ориентированы противоположно Р

направлению вытяжки. В этих условиях элементарная работа сил трения на конической поверхности матрицы определится как

R R

Лм = jna_s(l-ln-A)Z./_vdp=naAJ(l-ln-^)^- =

г г

= uciA[(1 - In R) ln-|- + -lln-Ј-ln#r] =

= _wft,(l--i-ln4)^lnT-' (8-141)

Определим работу сил трения по пуансону. Элементарная сила трения, как и на поверхности матрицы, определяется по выражению (8.140), однако выражение для элементарного пере­мещения должно быть иным.

При перемещении пуансона относительно матрицы на h эле­менты заготовки в очаге деформации перемещаются в радиаль­ных направлениях на п_р. Такие же смещения в радиальном направ­лении (которое в данном случае совпадает с осевым) полу­чают элементы заготовки, контактирующие в очаге деформации е цилиндрической поверхностью пуансона. Одновременно пуан­сон как жесткое тело получает смещение в осевом направлении на h. Поэтому величина относительного смещения элементов заготовки по пуансону может быть определена как разность между смещениями элементов заготовки в осевом направлении и смеще­нием пуансона в том же направлении SJi h_r)

fcpn = fcp-fc=(y-l)fc,. (8-142)

Элементарная работа сил трения на контактной поверхности по пуансону в этом случае

R г я

_{An = J («У»рп Ф = V-<*A J (}¹ _-^1п _{-у) у Ф ~}

Г Lr

-|(1-1пА)ф . г

Первый интеграл, находящийся в квадратных скобках, ана­логичен интегралу в выражении для работы сил трения по матри­це, решение которого получено уравнением (8.141), тогда

^Д_п^{= lio-Л [г (l i_ln-^)ln-4-— 1(1 — ln/?)p +}

^{+ p(lnp- l)f]=-4-^A(ln-f)2, (8Л43>}

Как видно из формулы (8.143), работа сил трения по пуан­сону имеет знак, обратный знаку работы сил трения по матрице. Это указывает на то, что силы трения по пуансону являются активными, способствуют деформированию, уменьшают напря­жения в стенках протянутой части заготовки.

Таким образом, найдены все составляющие работы и их можно подставить в уравнение (8.131). После подстановки этих состав­ляющих и проведения некоторых упрощений получаем

А_а = a_/ft_r[alnA-f2sln²-|- + p(l-ln4)ln4-]- (⁸-¹⁴⁴)

Обозначим осевое напряжение, действующее в стенках про­тянутой части заготовки, о_г, тогда элементарная работа активных сил, созданных напряжениями a_z на перемещении пуансона h,

А_а = оу sina —"—h, = a/ah_r. (8.145)

Подставляя значение А_а из уравнения (8.145) в уравнение (8.144), после несложных преобразований находим

1п-£- + 2-

₊ JL(l_ln4)ln-f J- (8.146)

Некоторое неудобство формулы (8.146) заключается в том, что в нее входят угол а и его тригонометрические функции. Так как при вытяжке g утонением угол а невелик, то можно произ-

вести замену a*=«sina:

2 sin -у cos -j

■■ 2 sin -

Подставив

_{>"4-+*>"1+-М'->»4)'"4-}

это выражение в формулу (8.146), получим

* +sin^+ и /i *

2 sin

(8.147)

извести и такую замену: примет вид

Почти с той же погрешностью в формуле (8.147) можно про-

sin-^-^-^-. Тогда формула (8.147)

^„,_=я^,_[1^„4₊₁₊^{^(}₁^__)п^А)₁^„4].

(8.148)

Отношение радиусов равно отношению толщин

R _ s„ т- _Sl '

где s₀ и s_x — еоответственно исходная и конечная толщина стенки заготовки.

Подставив вместо отношения радиусов отношение толщин в фор­мулу (8.148), получим

a₂=o_s[ln-J-+-_Y + A(l-ln|-)ln|-]. (8.149)

Рассматривая формулу (8.147) и 8.149), можно заметить, что с увеличением угла а отдельные составляющие а_г увеличи­ваются, а другие уменьшаются. Можно полагать, что при неко­торых значениях угла а напряжение о₂ будет минимальным при прочих равных условиях. Отыскать оптимальные значения

а_лпт можно, приравняв = 0. Дифференцируя формулу

(8.149), после преобразований получим

«опт = |/2p(l-ln^)ln-^-. (8.150)

Из формулы (8.150) видно, что величина оптимального угла конусности матриц при вытяжке с утонением стенки увеличи­вается с увеличением коэффициента трения и с увеличением

отношения толщин до — 1,65. Дальнейшее увеличение отно-

So

шения — приводит к некоторому уменьшению величины опти-

мального угла конусности. Заметим, что так как анализ процесса деформирования при вытяжке с утонением был проведен в пред­положении наличия плоскодеформированного состояния, то фор­мула (8.150) не вскрывает зависимости а_опт от отношения тол­щины s₀ стенки заготовки к ее диаметру d. Анализ, проведенный в работе [99] на основе решения приближенных уравнений рав­новесия и пластичности, показал, что оптимальный угол конус­ности матрицы увеличивается с увеличением отношения

Изложенный анализ был проведен без учета влияния упроч­нения для случая, когда коэффициенты трения по пуансону и матрице равны между собой. Решения с учетом влияния этих факторов также даны в работе [99] и там же рассмотрен вопрос определения усилия вытяжки, которое нельзя находить как про­изведение а_г на площадь поперечного сечения протянутой части заготовки.