3.12. Плоское напряженное и плоское

ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ («ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА»)

Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.

1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из коор­динат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.

2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты: 104 '^:' ¹

а) компоненты касательных напряжений равны нулю;

б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напря- женное состояние), или равно полусумме двух других нормаль- ных напряжений (плоское деформированное состояние).

Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из преды­дущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозна­чить также и индексом 2. При этом а_х, а_г и х_хг = %_zx не зависят от у; вместе с тем х_ху и %_гу, а следовательно, и %_цх и х_уг равны нулю.

Для плоского напряженного состояния а_у = 0. Для плоского

деформированного состояния а_у = °* °^г (эта особенность

плоского деформированного состояния будет доказана далее, на стр. 141).

Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями.

В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напря­жения, но есть деформация, во втором есть нормальное напря­жение, но нет деформации.

Плоское напряженное состояние может быть, например, в пла­стине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине (рис. 3.16). Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу 1104]. Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической чаготовки из листового материала.

Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического ¹ или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, напри­мер, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.

Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи шачительно упрощаются и сокращается количество переменных.

Уравнения для плоской задачи можно легко получить из имведенных ранее для объемного напряженного состояния, учи-1мвая, что х_ху = х_ух = x_zy = х_уг = 0 и принимая а_и = 0, по-■ кольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным in напряжений при плоском напряженном состоянии или свобод-н| iM от деформаций при плоском деформированном состоянии Iрис. 3.17).

В рассматриваемом случае

а\ +аЫ 1,

В общем смысле этого термина.

_{\У 1} ⁴

N

Рис. 3.17

т. е.

Обозначая угол (см. рис. 3.17) между нормалью к наклонной площадке и осью х (или осью /, если напряженное состояние дано в главных осях 1 и 2) через а *, получаем

а_х = cos а; а| = 1 — cos² а,

откуда

а_г = sin а.

Учитывая вышесказанное, путем непосредственных подста­новок в соответствующие выражения (3.10) и (3.11) для объем­ного напряженного состояния получим нормальное и касатель­ное напряжения в наклонной площадке (см. рис. 3.17).

Нормальное напряжение

а_н = а, cos² а -4- а₃ sin³ а. (3.40)

Касательное напряжение

т = ziz -J- (о_а — о\) sin 2а. (3.41)

Из выражения (3.41) легко видеть, что т имеет максимум при sin 2а = 1, т. е. при а = 45°:

* Без индекса, поскольку положение площадки в рассматриваемом случае определяется всего одним- углом.

(3.42)

"хг О, — 0

Величину главных напряжений можно выразить через компо­ненты в произвольных осях, использовав уравнение (3.13), из которого получим

а. — о

" = 0;

о² — (а_х + а_г) а + о_ха_г — %\_г = 0, откуда

0,-4-0, 1

У(о_х - в_гГ

4т!_г.

(3.43)

При этом для плоского напряженного состояния о₂ == 0;

для плоского деформированного состояния

*Jo —• " ™ •

Зная напряженное состояние в главных осях, легко перейти на любые произвольные координатные оси (рис. 3.18). Пусть новая координатная ось х составляет угол а с осью /, тогда, рас­сматривая ее как нормаль к наклонной площадке, имеем для последней по уравнению (3.40)

^стн = °i cos² а + о₃ sin² а,

но для оси х напряжение а_н является напряжением о_х, следо­вательно,

о_х ~ a_l cos² а + а₃ sin² а;

выражение это можно преобразовать так:

■ cos 2а I

1 -4- cos 2а , 1

Ох = Oj я J- О_а —

(3.44)

cos 2а.

от

Новая ось г будет наклонена к оси / на угол (а + 90°); сле­довательно, заменяя в предыду­щем уравнении а на (а -4- 90°), получим

от + о₃

а, =

_{-2- cos 2а. (3.45)}

Напряжение %_хг определим из выражения (3.41):

ч_хг = (°з — °i) ^sin 2а. (3.46)

= ст,

Обозначая среднее напряжение через ст_ср, т. е. принимая

ср>

р* + «2 Pi + Р₃

(3.47)

и учтя уравнение (3.42), получим так называемые формулы преобразования, которые выражают компоненты напря­жений в функции угла а:

= a_cp±T₃₁cos 2a;

(3.48)

т„₇ = т_ч1 sin 2a.

При построении диаграммы Мора учтем, что поскольку мы рассматриваем площадки, параллельные оси у (т. е. оси 2), на­правляющий косинус а₂ всегда равен нулю, т. е. угол а₂ = 90°. Поэтому все корреспондирующие значения а_н и % будут распо­ложены на окружности, определяемой уравнением (3.366) при подстановке в него а₂ = 0, а именно:

(а_а-^)Ч^=(^-)²

или с учетом выражений (3.47) и (3.42) (ст_а — ст_ср f + т² = tIi.

(3 49)

(3.49а)

Зта окружность представлена на рис. 3.19 и является диаг­раммой Мора. Координаты какой-нибудь точки Р, расположенной на окружности, определяют корреспондирующие значения а_н и т. Соединим точку Р с точкой 0₂. Легко видеть, что отрезки

0₂Р = т₃₁; Рр = г; Ор = а_н,

и, следовательно,

^{% — х}₃₁ ^{sin [_ Р0}₂^А,

о_н = о_ср + 0₂р =

= °с_Р + % cos /_Р0₂А.

Сравнивая полученные вы­ражения с уравнениями (3.48), можно установить, что

LP0₂A = 2a,

и, следовательно,

£_РСА = а.

Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом а, можно найти значения напряжений а_н и т, действующих в этой площадке.

Так как

то отрезок ОР выражает полное напряжение S.

Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напря­жение а_х было направлено параллельно оси а_н, то нормаль Л/, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направ­ление напряжения а_н будут параллельны отрезку СР.

Продолжив линию Р0₂ до пересечения с окружностью, в точке Р' получим вторую пару значений о_н и %' для другой наклонной площадки, у которой а' = а + 90°, т. е. для площадки, перпен­дикулярной к первой, с направлением нормали Л''. Направления нормалей N и N' можно принять соответственно за направления новых осей х и г, а напряжения а_н и а_н — соответственно за коор­динатные напряжения а_х и а_г. Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)—(3.46). Абсолютные величины напряжений тих' равны между собой по закону парности.

Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряже­ниям в двух взаимно перпендикулярных площадках а_х, % и о_г, %' (где %' = т) найти главные напряжения.

Проводим координатные оси о_н и т (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р' с координатами, соответствующими заданным напряжениям а_х, т и а_г, т. Пересечение отрезка РР' с осью а_н определит центр круга Мора 0₂ с диаметром РР' = 2т_з1. Далее, если построить оси N, N' (или, что то же, х, г) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напря­жений о_х и а₂ в рассматриваемой точке данного тела, то направ­ления осей а_н и т диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 я 2.

Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю %_ух и х_уг:

да_х , д%_{хг 0}. Л«.₊ ^_ _{= 0}_ _{(3 50)}

дх ¹ дг ' дх ¹ дг

. При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных коор­динат полярными, определяя положение точки радиусом-век­тором р и полярным углом 8, т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью р.

Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв

= т

го

= т_р2 = О и учтя, что производные по z равны

= 0;

др

1 дтрр

р

^т р Л ^т

2tpe

Р

Ор — ов Р

= 0.

(3.51)

Частным случаем плоской задачи является такой, когда напря­жения не зависят также и от координаты 8 (симметричное отно­сительно оси распределение напряжений). В этом случае обра­тятся в нуль производные по 8 и напряжения т_р8 и т^, а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением

dap dp

Р

(3.52)

Ясно, что напряжения а_р и а₀ здесь являются главными. Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического

стакана.