4 М. В. Сторожев 97

нои площадке, а также ре- % шить обратную задачу, (для^в) Знак касательного напря­жения по диаграмме Мора в общем случае определить нельзя.

Легко заметить, что уве­личение или уменьшение напряжений о_ь о₂ и о₃ на одну и ту же величину не изменяет радиусов глав­ных кругов и взаимных расстояний между их цент­рами. Изменяется лишь положение оси т. Если ось т сдвинуть в сторону фигуры (в случае, пока­занном на рис. 3.7, —

вправо) на величину среднего нормального напряжения о_ср [формула (3.23)], то получим отображение девиатора напряже­ний (рис. 3.9). Ось х в этом случае всегда пересекает фигуру. Ее можно провести при помощи построения, показанного на рис. 3.9, не вычисляя а_ср.

Шаровой тензор напряжений отобразится на диаграмме Мора окружностью нулевого радиуса (точкой О'), расположенной на расстоянии о_ср от начала координат.

3.10. Условия равновесия для объемного напряженного состояния

Величина напряжений в теле, нагруженном силами и находя­щемся в равновесии, в общем случае непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. напряжения являются непрерывными функ­циями координат. Выделим в напряженном теле элементарный параллелепипед (рис. 3.10) с гранями, параллельными коорди­натным плоскостям, и выясним, какие существуют условия, обеспечивающие его равновесие.

Пусть одна из напряженных точек а с координатами х, у, г отображается гранями параллелепипеда abed, adb'c' и ac'd'b. Вторая точка а' отстоит от а на бесконечно малое расстояние, и соответственно этому координаты ее будут х + dx, у + dy и г -f- dz. Эта точка а' отображается гранями параллелепипеда a'b'c'd', a'd'bc и a'cdb'. Понятно, что размеры ребер параллеле­пипеда равны dx, dy и dz.

Т —

' Ста —

Пусть напряженное состояние точки а определяется тензором напряжений

°*	тху	^хг
%1)Х	°У	Туг
Т'гх	%2У

Рис. 3.10

Напряжения в точке а' отличаются от напряжений в точке а на бесконечно малые величины. Пренебрегая членами высших порядков, можно принять, что приращение каждого напряжения выражается частным дифференциалом по той координате, по которой переместилась площадка действия данного напряжения, т. е. по координате, указываемой индексом адреса напряжения. Тогда тензор напряжений для точки а!

Тпа' —

дх дх

+

(o,+-%-dx) (т„ + ^^)

ду дт

^dx_{) (ъ+-^м*0 +}

Усилия, действующие по граням параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площади соответствующих гра­ней, указываемых индексами адреса напряжения.

Составляем условия равновесия, взяв суммы проекций всех сил на оси координат и приравнивая эти суммы нулю.

На ось х

(°* + ~ТГ^dx)^{dy dz} ~ °^{х dy dz} + {^т*у + п§г ^dy)^{dx dz} ~~

■ %_Xy dx dz

(^T« +^jr^dz) dxdy — T_X2dxdy = 0.

Раскрывая скобки и сокращая на dxdydz, получим да.

дх

ду т" дг

Суммы проекций на оси у и г можем написать по аналогии. В результате получим

дах	+	dixu	+	dixz
дх		ду		дг
дх	+	дау ду	+	д%уг _ дг
дт2Х		дт2У	+	daz
дх		ду		dz ~

(3.38)

Таким образом, мы получили условия равновесия для объем­ного напряженного состояния в виде дифференциальных урав­нений в частных производных.

Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела.

Напряжения меняются по объему тела, и в элементах, выхо­дящих на поверхность, их величина должна быть такой, чтобы уравновешивать внешнюю нагрузку, действующую на поверх­ностную грань [104], т.е. удовлетворять поверхностным усло­виям или условиям на контуре.

Связать напряжение в бесконечно малом элементе тела, вы­ходящем на его поверхность, с внешней нагрузкой можно, исполь­зуя уравнения (3.3). Действительно, в общем случае элементар­ный участок поверхности тела можно рассматривать как наклон­ную грань элементарного тетраэдра (стр. 80).

Три дифференциальных уравнения равновесия (3.38) содер­жат шесть неизвестных (учитывая, что касательные напряжения попарно равны между собой), и, следовательно, для их решения требуются дополнительные уравнения. Таким образом, объем­ная задача в общем случае является статически неопределимой.