1 Строгий вывод системы (6.22) см. В работах [33, 34, 1031.

2 Изложение методов численного интегрирования уравнений характеристик выходит за пределы настоящего учебника и требует от читателя знаний по мате­матике, превышающих программу втузов.

Частным случаем рассматриваемой группы полей скольжения является центрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическими окружностями. Нормальные напря­

жения по радиальным и окружным (тангенциальным) площадкам равны среднему давлению а_ср = 2k (—со -f- ц) и являются линей­ными функциями угла наклона прямой (рис. 6.13, в). Центр та­кого поля О называют особойточкой. Поскольку в особой точке сходятся прямые линии скольжения, вдоль каждой из кото­рых средние напряжения а_ср различны по величине, постольку в особой точке напряжения теоретически не имеют единственного значения. Однако формально условия равновесия и пластич­ности удовлетворяются и в этой точке.

Учитывая сказанное о полях линий скольжения указанных видов, можно утверждать, что в области, примыкающей к области равномерного, напряженного состояния, поле линий скольжения воз­можно только простое, т. е. в котором одно из семейств состоит из прямых (6.13, г).

Наконец, к общему случаю относятся поля линий скольже­ния, образованные двумя ортогональными семействами плавных кривых линий. Сюда относятся, например, взаимно ортогональные циклоиды, логарифмические спирали и другие более сложные кривые. В таких полях, в частности, кривые одного семейства могут пересекаться в одной точке (рис. 6.13, д), которая поэтому будет являться особой.

Следует отметить, что поле линий скольжения у свободной или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой круговой границы представляет собой ортогональную сетку логарифмических спиралей (рис. 6.13, е).

Учитывая это положение и сказанное на стр. 196 относительно прямолинейной границы, можно сделать такое обобщающее заклю­чение: поле линий скольжения у границы, свободной от усилий (или

находящейся под равномерной нормальной нагрузкой), определяется только формой самой границы.

При решении практических задач редко бывает возможно по­строить поле линий скольжения одного и того же вида по всей де­формируемой зоне. Обычно необходимо комбинировать поля линий скольжения, соответствующие решениям, справедливым для раз­личных областей, при условии, чтобы границами различных обла­стей являлись линии скольжения, общие для смежных полей, и компоненты напряжений поперек (по нормалям) границ были непрерывны.

6.4.5i Построение полей линий скольжения

Построение полей линий скольжения в общем случае является задачей достаточно сложной, и отыскание решения требует опыт­ности и интуиции [124].

В любом случае должны быть заданы граничные условия, обычно в виде соотношений между нормальными и касательными напряжениями.

Решение какой-либо задачи, полученное методом линий сколь­жения, не является, однако, единственным, и возможны другие решения, справедливые для заданных граничных условий. По­этому необходима их последующая проверка на единственность и корректность (46, 106].

Как уже было сказано ранее, для построения полей линий скольжения можно применить аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации, пользуясь теми или иными мето­дами, обычно приближенными. Однако этот путь представляет часто значительные математические трудности и не распространен в теории обработки металлов давлением.

Иногда представляется возможным строить поле линий сколь­жения без решения уравнений на базе анализа условий задачи и использования геометрических свойств линий скольжения. В не­которых простейших случаях бывает возможно получать элемен­тарным путем замкнутые аналитические решения. Наконец, тео­рия линий скольжения позволяет строить поля линий скольже­ния графическими методами. В некоторых случаях поля линий скольжения возможно построить по координатам узловых точек, вычисленным аналитически я приведенным в литературе [106, 113]. Все это будет иллюстрировано далее.

Рассмотрим построение поля линий скольжения для плоского кольца (рис. 6.14), нагруженного по внутреннему контуру равно­мерно распределенной растягивающей нагрузкой р. Деформация принимается плоской в направлении оси г (т. е. толщины кольца). Определим величину р, при которой все кольцо находится в со­стоянии пластической деформации.

Поскольку касательных напряжений на внутреннем контуре нет, напряжения а_р (т. е. направленные радиально) являются 198

главными нормальными. Следо­вательно, напряжения а₀, на­правленные тангенциально, так­же будут главными нормаль­ными. Поэтому траектории главных напряжений представ­ляют собой сетку окружностей и ортогональных к ним радиу­сов (рис. 6.14, правая сторо­на) . Линии скольжения накло­нены к траекториям главных напряжений под углом 45°, т. е. каждая линия скольжения с любым радиусом, который она пересекает, образует угол 45° Рис. 6.14 (то же и с любой окружностью, поскольку последняя ортогональна радиусам).

Из теории кривых известно, что кривая, пересекающая все лучи, выходящие из одной точки О под одним и тем же углом а, есть логарифмическая спираль. Следовательно, в рассматриваемой задаче линии скольжения являются логарифми­ческими спиралями.

Уравнение логарифмической спирали

р = г ехр /40;

А — ctg а; в нашем случае А = ctg 45° = 1, и, следовательно, для данного случая

р = ге^ь.

Откладывая (начиная с точки а) 0 и р от оси р против часовой стрелки, получим линию одного семейства а; откладывая 6 и р по часовой стрелке, получим линию другого семейства р (рис. 6.14). Аналогично можно получить любое количество других пар линий скольжения. Слева на рисунке представлен участок поля линий скольжения. Легко доказать, что это поле удовлетворяет требова­нию ортогональности и постоянству угла между касательными.

Так как построенные линии скольжения наклонены к радиусам под постоянным углом 45°, то угол поворота их равен углу пово­рота радиуса от одной точки пересечения с данной линией сколь­жения до другой. Поэтому Q_ab = а>_аЬ (рис. 6.14).

Из уравнения кривой следует

In = 9, и, следовательно,

На основании уравнения (6.18) можно написать ^стс_Р« — о_срЬ = 2ft In

Точка b лежит на свободной поверхности, следовательно, Орь = 0.

По условию пластичности, учитывая, что напряжение а_р растя­гивающее, а а₉ сжимающее, имеем

^арь — <*вь = 2ft,

откуда

а_вь = —2ft

и

"срй — ₂ — Тогда

а_сра = 2ft In -у- — ft,

но

а ₌^{р + а}е°.

^иср а 2

По условию пластичности

Р — °"еа — 2ft, и, следовательно, а_ва = р — 2ft, поэтому

a_epe = Ј±^* =2ftln-f-ft,

откуда

р = 2ftln — = аЛп —.

Таким образом, задача решена элементарным путем. Получено замкнутое решение для определения удельного усилия и построено поле линий скольжения.

Также элементарно для данного случая можно определить удельное усилие, решая уравнение равновесия совместно с усло­вием пластичности. Напряженное состояние здесь одновременно и плоское, и осесимметричное.

Дифференциальное уравнение равновесия одно, а именно уравнение (3.52)

^doP | Рр — OQ _ п

dp р

Напряжения о_р и а_в здесь являются главными. Условиями пластичности служит уравнение

Ор — °е = ⁰**;

подставляя это уравнение в уравнение равновесия, решаем по­следнее; определяем постоянную интегрирования из условия, что р = R, напряжение о_р = 0. В результате получим

0р = о* In —.

(6,23)

При р = г напряжение а_р = р, следовательно, p = o_s*ln-f-.

(6.23а)

Таким образом, мы получили тот же результат, что и при решении данной задачи методом линий скольжения.

Рассмотрим теперь построение поля линий скольжения для начала внедрения плоского пуансона в пластическое полупро­странство при отсутствии контактного трения.

Так как принято, что контактное трение отсутствует, то линии скольжения должны подходить к рабочей поверхности пуансона аЬ под углом 45° (см. стр. 196), и участок поля линий скольжения, примыкающий к ней, представляет однородное напряженное состояние (сетка двух ортогональных семейств прямых линий). Проводим линии скольжения ас и be, ограничивающие этот уча­сток (рис. 6.15). Справа и слева от пуансона распространяется сво­бодная поверхность, на которую линии скольжения также должны выходить под углом 45°. Проведем под этим углом из точек а и b направления линий скольжения аа' и bb'. Точки а и b будут осо­быми. Проведя из этих точек окружности радиусами ас = be, получим границы центрированных полей, которые могут соеди­нять области однородного напряженного состояния. Наконец, проведя под углом 45° к свободной поверхности прямые da" и ее', получим границу всего поля линий скольжения для данного случая d'dcee'. Для наглядности внутри полученных областей проводим также соответствующие этим областям линии скольже-

d'

е'\2

х

ния (ортогональные прямые, ортогональные радиусы и окружно­сти), как показано на рис. 6.15. Это поле построил Л. Прандтль.

Теперь определим удельное усилие. Линии скольжения на­клонены как к плоскости торца пуансона, так и к свободной поверхности под углами 45°. Следовательно, угол поворота линий скольжения при движении от точек свободной поверхности к точ­кам, расположенным на торце пуансона (например, от точки А к точке Б), равен 90°, т. е.

я

^АБ = ~2 '

На свободной поверхности напряжение о_гА = 0, напряже­ние а_хА — сжимающее и притом главное. Следовательно, по усло­вию пластичности

0 — о*а = 2ft,

и среднее напряжение

°ср а = —ft-

На основании уравнения (6.18), учитывая, что о_срА > о_срБ, можно написать

°ср а — °ср б = 2ftco_AB,

а после подстановки значения 0_срД

°с_Рб = — (ft+2ft©_AB). (а)

Вместе с тем для точки Б

с, а _ 9Ь- °*б "t~ ^gzB _

°*Б ^игБ ^— ^^к> 2 — °срБ*

Исключив из этих уравнений а_хВ, получим

°ср Б ^{= а}гЪ "Т~ k.

Подставим это значение о_срБ в полученное выше выражение

(а).

Тогда

о_гБ = — 2ft (1 +со_АБ).

Удельное усилие р = —о_гБ, следовательно, p = 2ft(l+co_AB), (6.24)

или в рассматриваемом случае

p = 2ft(l + -f )~2,6o_s*. (6.24а)

Поле линий скольжения (рис. 6.15) не является единственно возможным для начала вдавливания жесткого пуансона в пласти-

202

ческое полупространство. Р. Хилл предложил вариант, пред­ставленный на рис. 6.16. Величина удельного усилия вдавлива­ния, определенная на основании поля Р. Хилла, будет та же, что и при пользовании полем Л. Прандтля, поскольку величина угла со_АБ остается в обоих случаях одна и та же.

Элементарными приемами, использованными при решении рассмотренной задачи, можно решить и задачи построения полей линий скольжения при осадке усеченного клина (рис. 6.17), при вдавливании в полупространство закругленного пуансона (рис. 6.18) и многие другие [105, 113].

Что касается специальных методов графического построения полей линий скольжения, то основы их заложили В. Прагер, Ф. Ходж [73] и Р. Зауэр [ 128]. Л. А. Шофман и П. И. Перлин для решения сложных задач теории обработки металлов давле­нием применили разработанный ими метод, сущность которого заключается в замене плавных кривых линий скольжения ло­маными линиями с постоянным углом между каждой парой смеж­ных звеньев [ 17]. Значительный вклад в метод графического по­строения и анализа полей линий скольжения внес Е. М. Маку-шок [46 ].

В качестве примера [121] построим поле линий скольжения для осадки полосы шириной а и толщиной h плоскими шерохо­ватыми плитами (трение на поверхности контакта максимальное).

Вследствие симметрии относительно осей х и г достаточно рассма­тривать одну четверть сечения полосы (рис. 6.19, а).

Так как свободная поверхность OA плоская, то она является границей поля однородного напряженного состояния (треуголь­ник OA В, к которому следует примкнуть центрированное поле ABC, ограниченное линией скольжения ВС), представляющей собой дугу окружности. Точка А будет особой.

* Первая цифра в индексе точки означает порядковый номер линии скольже­ния семейства а, вторая — семейства Р, на пересечении которых лежит данная точка.

Проведем из точки А пучок прямых под одинаковыми углами у между ними (принимаем у = я/12), ограниченных дугой окружно­сти ВС, и заменим дугу ломаной линией, состоящей из равных отрезков — хорд. Концы этих отрезков обозначены точками (0, 0), (О, 1), (0, 2) и (0, 3) *. Проведя затем отрезок (0, 1)—(1, 1) пер­пендикулярно отрезку (0, 0)—(0, 1), отрезок (0, 2)—(1, 2) пер­пендикулярно отрезку (0, 1)—(0, 2) и отрезок (1, 1)—(/, 2) па­раллельно отрезку (0, 0)—(0, 1), получим в их пересечении узло­вую точку (1, 2). Аналогично находим положение узлов (1, 3), (1, 4) и получаем линию скольжения 1 семейства а. Продолжая построение, далее определим другие линии семейства а и одно­временно с ними и линии семейства р. В результате получим поле линий скольжения, состоящее из четырехугольных ячеек, у ко­торых два угла равны по я/2, а два других по я/2 ± у.

При принятом граничном условии (т_к = р.о* = ~ а*) линии

скольжения семейства а при точном построении пересекают ли­нию контакта АА_г под углом я/2, а для линий скольжения се­мейства В линия АА_г является огибающей (рис. 6.19, а).

Угол поворота линий скольжения каждого семейства при переходе от одной узловой точки к другой равен принятому углу у. Поэтому значения напряжений (о_ср, а_х, о_у и т) и соотно­шения между ними можно вычислить столь же правильно, как и в случае точного построения поля. Ошибка будет заключаться в координатах узловых точек. Чем меньше угол у, тем ближе ло­маные линии поля приближаются к главным кривым и тем точнее координаты узловых точек. Однако построение вместе с тем ста­новится более трудным. Целесообразно принимать угол у = 5 -s-ч-15^в.

Легко заметить, что до линии 3 системы 6 линия А А, не влияла на построение поля. Если бы линию контакта устранить, то было бы Возможно продлить центрированное поле и продолжать по­строение, базируясь на продленную грачичную линию скольже­ния ВС.

Поле, построенное на базе двух пересекающихся линий сколь­жения (учитывая линию, расположенную симметрично ВС вниз), являющихся дугами окружностей, Э. Томсен называет «двух-центровой веерной сеткой линий скольжения» [106], Е. М. Ма-кушок — «полем, образованным двумя дугами окружностей рав­ного радиуса» [46]. Далее будет применяться последнее наимено­вание. Это поле имеет исключительно большое значение, как позволяющее решать очень многие и разнообразные задачи [46, 106, 121, 124]. Поэтому оно было подвергнуто тщательному мате­матическому анализу [46, 106, 113], и в настоящее время для его построения можно пользоваться таблицами вычисленных значе­ний координат узловых точек [106, 113].

Координаты узловых точек в этих таблицах даны для опреде­ленных значений углов у. За единицу измерения принят радиус АВ дуг окружностей, образующих поле. Умножив приводимые цифры на ]/2 , можно ^выразить табличные значения координат также и величинами, кратными отрезкам АО—ОВ (рис. 6.19, а).

Поле, образованное дугами равного радиуса, рассмотрим подробнее в следующей задаче.

Пусть металл, заполнивший штамп, начинает вытекать в обе стороны в зазоры между верхней и нижней частями штампа.

Длина штампа значительна, поперечные сечения (рис. 6.20) по длине штампа одинаковы. Деформированное состояние можно считать плоским. Поле линий скольжения, по предположению Л. А. Шофмана [121], имеет вид, показанный на рис. 6.20. Вслед­ствие симметрии как по отношению к оси г, так и по отношению

к оси х достаточно рассмот­реть участок поля, располо­женный в одном квадранте (рис. 6.21). В нем три области: прямоугольный треугольник AM (0, О), круговой сектор А (0, 0) [0, 4) и криволинейный тр угольник (Р. 0) (0, 4) (4, 4).

В треугольнике AM (0, 0) лиш'.я А;>1 представляет собой в данном примере свободную поверхность деформируемого тела. Следовательно, на этой линии а_х = х_Х2 = 0, и линии скольжения обоих семейств на­клонены к ней под углом я/4. Они образуют сетку ортогональ-

ных прямых. Напряженное состояние однородное. Напряже ние о₂ здесь главное, сжимающее, и по условию пластичности (5.13) \a_t\ = at = 2k. Среднее напряжение

^Jcp

Касательные напряжения на оси х равны нулю. Параметры £ и i] также постоянны, так как постоянны а_ср и со = я/4. Из фор­мул (6.22) имеем

1 , Я с. 1 Я

Ц= + — и g=~■» _т

В круговом секторе А (0, 0) (0, 4) поле центрированное и состоит из дуг окружностей (семейство а) и ортогональных к ним i г;н!усов (семейство (3). Вдоль каждого из радиусов напряженное ссояпие остается постоянным, но изменяется при переходе от

одного радиуса к другому, т. е. при движении по линиям а. По­этому достаточно для характеристики напряженного состояния в секторе А (0, 0) (0, 4) определить напряжения в узловых точ­ках (0, 1), (0, 2), (0, 3) и (0, 4). В точке (0, 0) со₀, ₀ = я/4.

Легко видеть, что в других точках, расположенных на линии скольжения,

ю = <»о, о + УП = — + -утг-.

где п — порядковый номер линии скольжения второго семейства. По формуле (6.16) можно написать

о_ср = 2ft(r| — со). Для данного случая o„ = 2*[(-f₊i)-(i-i)], откуда

^°с_Р ^{= ~ 2* (4" + -ж) •}

Подставляя п = 1, 2, 3 и 4, найдем о_ср в узловых точках на линии скольжения сс₀, а затем по уравнениям (6.13) и компоненты напряжений а_х, а_г и %_хг.

Криволинейный треугольник (0, 0) (0, 4) (4, 4) представляет собой часть поля, образованного двумя дугами окружностей рав­ного радиуса. При построении его на рис. 6.21 использована таблица Р. Хилла [113]. Единицей измерения служит отрезок А₃/2. В этой области, так же как и в треугольнике AM (0, 0), линии скольжения пересекают ось х под углами я/4, так как ка­сательные напряжения вдоль этой оси, являющейся осью симме­трии, отсутствуют.

Узловые точки на дуге (0, 0)—{0, 4) на рис. 6.21 выбраны на одинаковом угловом расстоянии у = я/12 одна от другой. Такой выбор предопределяет получение так называемой равно­угольной сетки линий скольжения. В таком поле угол со при переходе вдоль линии скольжения от одной точки к смежной с ней изменяется на одну и ту же величину, равную у.

Поэтому, рассматривая, например, линию скольжения fS₄, легко установить, что угол со при переходе от точки {0, 4) до точки (4, 4) уменьшается на 4-у. Тогда для линии (5₄ можно напи­сать

со = ©(о, 4) — ут.

Раньше было установлено, что на линии сс₀ угол со = со₀,₀ + + уп, поэтому со (о, 4) = соо, о + Щ, и, следовательно, для узловых точек, расположенных на линии (5₄,

<«> = «со, 0) + {п — т) у.

Аналогичные рассуждения можно повторить для любой линии скольжения семейства 6, и, следовательно, выражение

«(т. п) = «(о, о) + (п — т)у (6.25)

будет определять угол со(_т,_П) в любой узловой точке данного поля при любых выбранных значениях у.

Определим для точки (0, 4), а тем самым и для всей линии 6₄ значение |₄.

По третьему уравнению системы (6.22)

|₄ = 'Т)₀ — 2СО(0, 4) .

Ранее определено, что

1 . я

По 2~ + Т '

В свою очередь,

я . (4 — 0) я 7л Що. 4) = —+ Tg = -Tg".

Следовательно,

% — 1 , я 2.7я 1_ _П_

^ё*~ 2 4 12 ~ 2 12

Далее, используя второе уравнение (6.16), имеем а_ср = ^2k (i* + »)■

Подставляя значения постоянной £₄ и переменной со по урав­нению (6.25) с учетом, что п — 4, получим для линии В₄

_п, / 1 . я , ял \ <*с_Р = -2*( — +—+-T2-J-

Определив о_ср, найдем и компоненты напряжений по форму­лам (6.13) так же, как для узловых точек линии сс₀.

Вместо интегралов Генки (6.16) для получения значений сред­него напряжения может служить уравнение (6.18), например для узловых точек линии сс₀ можно написать

о_ср = о₍₀, о) — Щп

или, подставляя в уравнение значение среднего напряжения в точке (0, 0) О(о,0) = —k и у = я/12, получим

т. е. то же, что определили и раньше.

Вычисление напряжений для остальных узловых точек, как видно из предыдущего, не представит затруднений. Это вычисле­ние еще более облегчается, если учесть дополнительно свойства диагоналей криволинейных прямоугольников, образующих рас­сматриваемое поле линий скольжения. 208

Таблица 6-1

Из выражения (6.25) видно, что угол со остается постоянным для всех узловых точек, у которых разность индексов (п — т) не изменяется. На рис. 6.21 такие точки соединены штриховыми линиями, которые представляют собой диагонали ячеек сетки. На этой же линии постоянны касательные напряжения х_хг, что следует из третьего уравнения (6.13).

Другие диагональные линии, соединяющие точки, у которых постоянна сумма индексов (п + т), являются изобарами, т. е. среднее напряжение о_ср вдоль этих линий не изменяется. На рис. 6.21 они также проведены штриховыми линиями при­ближенно в виде прямых. Возьмем, например, точку (7, 2). При переходе от этой точки к точкам (7, 3) и (2, 2) угол наклона касательных к соответствующим линиям скольжения изменяется на одну и ту же величину у. Следовательно, согласно уравнению (6.18) значения среднего напряжения в точках (7,3) и {2,2), для которых (п + т) = const = 4, будут одинаковы. Поскольку исходная точка (/, 3) была взята произвольно, вывод является общим.

Вычисленные значения напряжений и параметров со, Е и ц для всех узловых точек приведены в табл. 6.1. Данные таблицы показывают, что среднее напряжение о_{(т> п)} в каждой из узловых точек можно выразить через ее индексы

о₍т, л) = —2ft[-^- + (fi-_T-m)7j. (6.26)

Первое слагаемое в уравнении (6.26) предстазляет величину —k среднего напряжения о₍о, о> в точке (0,0) для рассматриваемого случая. Поэтому для общего случая предыдущее выражение сле­дует переписать так:

с_(т, „) = а₍₀, о) — 2k(n-\- т) у. (6.26а)

Подставляя это значение ст_(т>П) и ранее полученное (6.25) для g>(m,n) уравнения (6.13), имеем

^ах 1

| = О(о, 0) — 2k(n-\-m)y±kcos• 2(п — т)у; x_{Xt г} — fesin-2 (п — т) у. (6.266)

Эти выражения дают возможность при заданном а₍₀, о> весьма просто определять компоненты напряжения в угловых точках рассматриваемого поля линий скольжения по их индексам.

6.4.6. Жесткопластическая схема

Поле линий скольжения, представленное на рис. 6.14, суще­ственно отличается от полей, показанных на рис. 6.15, 6.17, 6.18, 6.19а и 6.20. В первом случае линии скольжения распространяются от одной границы — нагруженной к другой — свободной. Во втором случае поля линий скольжения не охватывают всего объема металла. Легко усмотреть, что при попытке продлить, расширить любое из указанных полей линий скольжения нару­шается какое-либо из условий правильного их построения. Любая другая линия скольжения, дополнительно проведенная или про­долженная, например а'Ь' на рис. 6.20 и ab на рис. 6.17, пересечет вертикальную ось симметрии под углом, отличающимся от 45°, т. е. покажет наличие сдвигающих напряжений на оси симметрии, что абсурдно.

Таким образом, при построении полей линий скольжения в общем случае наблюдается, что объем металла разделяется на две области: одна область пластическая, занимаемая полем, дру­гая же считается жесткой. При этом предполагается, что металл на границе областей скачкообразно переходит в пластиче­ское состояние.

Такая концепция, широко применяемая при решении различ­ных задач, носит название жесткопластической схемы.

- На рисунках видно, что границами, разделяющими пластиче­ские и жесткие зоны, являются линии скольжения. Этими грани­цами могут быть и огибающие линий скольжения (см. рис. 6.19).

Правильность построения поля линий скольжения с наличием жесткопластической границы определяется двумя условиями: пересечение линиями скольжения осей симметрии под углом 45° и контакт жестких зон в одной точке (точка О на рис. 6.20).

В точке контакта все компоненты напряжений, определяемые по двум соприкасающимся полям линий скольжения, равны между собой.

Жесткопластическая граница, как правило, заранее не задана, и определение ее является составной частью решения задачи методом линий скольжения.

Вместе с тем жесткопластическую схему можно применять и при решении задач другими методами, причем жесткопластиче­ской границей в этом случае бывает необходимо задаться на основании экспериментальных данных или каких-либо соображе­ний, лежащих в основе применяемого решения.

Жесткопластическая схема представляет собой концепцию математического порядка. Физически никакой резко выраженной жесткопластической границы нет. Существует определенный приграничный слой, в котором приращения упругих и пластичес­ких деформаций вполне сравнимы. Поэтому жесткопластическая схема отнюдь не предопределяет физически точных решений. В настоящее время делают попытки (Е. М. Макушок) выявить напряженнодеформированное состояние в переходных зонах, что дает перспективы получения уточненных решений [46].

6.4.7. Связь полей линий скольжения с полями скоростей

Задача построения поля линий скольжения, вообще говоря, не имеет единственного решения (стр. 198). Правильно построен­ное возможное поле линий скольжения, удовлетворяя условиям равновесия, уравнениям связи напряжений и деформаций и заданным граничным условиям в напряжениях, может оказаться не соответствующим условиям кинематическим. Теория пластич­ности доказывает, что таким статически возможным полем ли­ний скольжений, но не удовлетворяющим кинематическим усло­виям, определяется «нижняя оценка» удельного усилия деформи­рования.

Для определения же так называемого действительного значе­ния удельного усилия деформирования необходимо, чтобы поле линий скольжения удовлетворяло и кинематическим условиям. Поэтому для получения соответствующего полного реше­ния необходимо строить поля скоростей или годо­графы. Поля скоростей вместе с тем дают возможность опре­делять направления перемещений и судить о характере деформи­рованного состояния.

Выведем прежде всего уравнения, которым должны удовле­творять скорости перемещений вдоль линий скольжения. Для этого выразим компоненты вектора скорости перемещения и_х и и_г через его компоненты и_а и щ по направлениям произвольной пары пересекающихся линий скольжения аир (рис. 6.22). 212

На основании элементарных формул аналитической геомет­рии (перемена направлений осей координат) следует

(а)

и_х = и_а cos со — Up sin со; и_г = и_а sin со -f- «g cos со.

ди_а ди, асо

= -т^- cos со — «, sinco

Дифференцируем эти урав­нения соответственно по эле­ментам дуг линий скольжения систем а и В, т. е. первое по s_a, а второе по s_p:

ds„

dco

ds_a ~~ ds_a = (ы_г cos со — и_х sin 0)) Но согласно рис. 6.22

du_x ds_a

U_z COS СО — U_x Sin СО = Mg;

3«v .

COS CO =

dx '

du.

-., - sin со = — . os_a ог

Следовательно, на основании первого уравнения системы (а) получим

ди_а ds_a ди.

дх

дг

ди, . • ды

ds_a

Аналогично на основании второго уравнения системы (а) выводим

ди_&

osr

да_х дх

ди,

~ U.

дг

да

Но согласно уравнениям (4.20) и (4.22) и учитывая, что рас­сматривается плоская деформация (е^ = 0), можно написать

ди_х . du_{z = 0} дх * дг

Поэтому из предыдущих двух уравнений получим

ди₀ ds_n

да

аир

Эсо

Из этих выражений окончательно получим искомые уравне­ния, которым должны удовлетворять скорости перемещений вдоль линий скольжения:

(6.27)

Эти уравнения принадлежат Г. Гейрингер. Они представляют собой также уравнения неразрывности и отражают, что скорости линейных деформаций вдоль линий скольжения равны нулю. Из уравнений Г. Гейрингер непосредственно следует, что в про­стых полях линий скольжения компоненты скоростей вдоль ка­ждой из прямых линий скольжения постоянны. В центрированном поле эти скорости являются функциями только угла со. С помощью уравнений Г. Гейрингер можно построить план скоростей по известному полю линий скольжения.

6.4.8. Разрывы напряжений и скоростей

Из сопротивления материалов известно, что при упругом изгибе бруса в условиях плоской деформации нормальные напряжения а₁ изменяются по линейному закону, как показано на рис. 6.23, а, переходя от растяжения к сжатию через нуль на нейтральной линии. По мере увеличения изгибающего момента напряжения на поверхности а_х будут увеличиваться и в какой-то момент достигнут величины а* в зоне растяжения и —о* в зоне сжатия (рис. 6.23, а — штриховая линия). При чистом пластиче­ском изгибе упругие зоны полностью отсутствуют, а эпюра на­пряжений получит вид, представленный на рис. 6.23, б. На ней­тральной поверхности нормальное напряжение а_х = а* изме­няется скачком от величины a_s* до величины —a_s*, т. е. наблю-

дается так называемый разрыв нормальных напряжений.

Не всегда бывает возможно построить решение с непрерыв­ными напряжениями, и поэто­му в современной теории пла­стичности получили распростра-

- нение так называемые р а з -\ рывные решения.

Линию разрыва на­пряжений можно рассматривать как предельный случай, при котором тонкая упругая мем­брана разделяет две пластиче­ские области [121]. В теории пластичности доказан ряд по­

г

а

О

/п

Рис. 6.24

х

Рис. 6.25

ложеиий 11131, характеризующих особенности, присущие раз­рыву напряжений.

На линии разрыва испытывают разрыв нормальные напряже­ния, направленные вдоль этой линии (тангенциальные). Нормаль­ные напряжения, направленные к ней перпендикулярно, и каса­тельные (сдвигающие) изменяются непрерывно.

Если на линии разрыва L выделить бесконечно малый прямо­угольник (рис. 6.24) и обозначить напряжения, расположенные по разные стороны от этой линии, индексами + и —, то

о+ + аТ\ at — о~ = о„;

%t — — Tfl*

Линия разрыва напряжений является биссектрисой L угла, образованного одноименными линиями скольжения а и ос', р и Р' (рис. 6.25), а кривизна линий скольжения при переходе через линию разрыва, а следовательно, и угол со изменяется скач­ком [113J.

Следует помнить, что в одной и той же точке поля линий скольжения не может быть одновременного разрыва напряжений и скоростей. Разрыв скоростей может происходить только вдоль линий скольжения или вдоль огибающей линии скольжения.

Пусть, например, деформируемый материал в точке Р пере­секает линию скольжения системы ос и слева от нее вектором ско­рости перемещения является и, а после пересечения, справа, и

(рис. 6.26).

Условие неразрывности требу­ет, чтобы нормальные компонен­ты скорости при пересечении линии по обеим ее сторонам имели одинаковую величину, в противном случае был бы разрыв сплошности.

Нормальной компонентой вектора скорости 'и по отношению к линии скольжения системы ос будет компонента и§, значит,

На основании уравнения Г. Гейрингер (6.27) пишем (рис. 6.26) du_a — Wg с(со и du_a = щ dm.

Следовательно, вдоль рассматриваемой линии скольжения системы ос

с$>И(£ •—■ clii(Ј) отсюда

и_а — и_а = const. (6.28а)

Аналогично для случая разрыва скорости на линии скольже­ния системы 6 получим

Щ — Щ — const; (6.286)

это решение принадлежит X. Форду.

Из уравнений (6.28) явствует, что в случае возникновения разрыва скорости вдоль линии скольжения величина его остается постоянной (или равной нулю, когда разрыв отсутствует). Так как жесткопластической границей может быть линия скольжения (или огибающая линия скольжения), то разрыв скорости может происходить вдоль этой границы, нормальная же скорость обя­зательно должна оставаться непрерывной. Это положение следует учитывать также в случае любой предполагаемой жесткопластиче­ской границы при приближенных решениях любыми методами.

6.4.9. Построение годографа скоростей

Годограф скоростей в общем случае представляет собой диа­грамму (график), в которой векторы скоростей перемещения точек деформируемого тела отображаются по величине и напра­влению прямолинейными отрезками (лучами), исходящими из выбранной на графике произвольной точки, называемой полюсом.

Каждой точке в поле линий скольжения соответствует точка, отображающая ее на годографе. Равно каждая линия скольжения получает свое отображение соответствующими линиями на годо­графе. Последние представляют собой скорости вдоль отображае­мых линий скольжения.

Из сказанного видно, что в том случае, когда в какой-либо области металл перемещается без деформации как жесткое тело (т. е. вектор скорости перемещения всех точек один и тот же), то все точки этой области на годографе отображаются одной точкой. Графическое построение годографа скоростей основано на свойстве ортогональности отрезков линий скольжения их ото­бражениям на годографе.

216

Для примера рассмотрим построение годографа скоростей для участка поля линий скольжения, изображенного на рис. 6.19, а. Узловые точки годографа обозначим так же, как и соответствен­ные точки поля линий скольжения, добавляя индекс «прим». То же сделаем и в отношении линий годографа, отображающих те или иные линии скольжения.

Область металла, расположенная от линии скольжения 6₄ вверх, жесткая, и все точки ее, если принять нижнюю плиту неподвижной, движутся с одинаковой скоростью, равной скоро­сти опускания верхней плиты и₀.

Линия скольжения В₄, представляя собой жесткопластиче-скую границу, тем самым является линией разрыва. Принимаем точку О_у за полюс (см. рис. 6.19, б), откладываем вертикально вниз отрезок 0_LA', который будет представлять собой в масштабе вектор скорости. Так как все точки жесткой зоны движутся с оди­наковой скоростью ы₀, то точка А' является отображением всех точек этой зоны. В данном случае целесообразно, чтобы отрезок О_хА¹ был равен масштабному размеру в поле линий скольжения, т. е. размеру п.

Построение начинаем [121 ] с точки контакта жестких зон (4, 4). Определяем нормальную и касательную компоненты скорости к линии 6₄ в точке (4, 4), для чего из точек 0_± и А' проводим прямые под углом 45°, так как линия скольжения 6₄ наклонена к оси симметрии под этим углом. В точке их пересечения получим точку (4'-, 4'), отображающую точку (4, 4) поля линий скольже­ния. Нормальная к линии 6₄ компонента скорости является ка­сательной компонентой по линии ос₄, т. е. это будет и_{а (4> 4)}, а ка­сательная компонента к линии В₄, т. е. и$ (4,4), является нормаль­ной К ЛИНИИ 0с₄. ПрИ этом в ТОЧКе (4, 4) СКОРОСТИ U_a (4, 4) = "3 (4, 4) =

= щ-—-- В точке (4, 4) вертикальная компонента скорости и_{г (}4,4)

определяется вектором 0_±0', а горизонтальная и_{х (4},4> вектором

О' (4', 4'), причем u_x(i, 4> — ы₂₍4,4) = 0,5ы₀.

Так как в поле линий скольжения линия 6₄ является линией

разрыва, то скорость вдоль нее, т. е. ы_в4, постоянна по модулю и равна модулю вектора и$ ₍4,4) = «о -4=, отображаемого согласно

выполненному построению лучом А' — (4', 4'). Поэтому концы векторов скорости и₀₄ для всех точек линий скольжения В₄ будут расположены на дуге окружности с центром в точке А' ра­диуса А' — (4', 4'). Разделив эту дугу на участки соответственно шагу у = л/12, принятому для построения поля линий скольже­ния, получим отображения узловых точек, расположенных на линии скольжения 6₄: (4', 4'), (3', 4'), (2', 4'), (Г, 4'). Далее в плоскости годографа проводим линии (3', 4')—(3', 3'), (2', 4')— (2', 3'), {!', 4')—(/', 3'), ортогональные к соответственным отрез­кам линий скольжения (3, 3)—(3, 4) ... (/, 3)—(/, 4), и липни (3', 3')—(2', 3'), (2', 3')—(Г, 3'), тоже ортогональные к одно­именным отрезкам линий скольжения. Точки пересечения про­веденных линий определяют узловые точки годографа (3', 3'), (2', 3'), (Г, 3'). Аналогично получают и все остальные узловые точки годографа.

Луч, проведенный из полюса 0{ к любой узловой точке годо­графа, например (Г, 2'), будет вектором скорости смещения точки (/, 2) в поле линий скольжения. Нетрудно определить и компоненты этого вектора по осям х, z, как показано на рис. 6.19, б. Построив в других квадрантах фигуры, симметричные выполнен­ной, получим полный годограф.

На первый взгляд может показаться, что векторы скоростей и должны быть направлены симметрично относительно оси х, т. е. оси симметрии поля линий скольжения. Отсутствие этого объяс­няется тем, что точка О_х принята неподвижной, и, следовательно, все точки, лежащие на оси симметрии поля линий скольжения, движутся относительно полюса со скоростью и_г = 0,5а₀. При­нимая же ось симметрии за неподвижную, мы сможем проводить векторы скорости перемещения точки от полюса О', что покажет симметричное распределение скоростей относительно этой оси.

В рассмотренном примере поле линий скольжения и поле (годограф) скоростей являются совместными. Это видно из того, что количество металла, вытесняемого в вертикальном направле­нии, равно количеству металла, перемещаемого в горизонтальном направлении, поскольку

X

В рассмотренном случае годограф представляет собой ту же фигуру, что и фигура поля линий скольжения, изображенная на рис. 6.19, г, но повернутую на 180°. То же самое можно сказать в отношении поля линий скольжения, образованного дугами двух окружностей (см. рис. 6.21), годограф для которого представлен на рис. 6.27. Указанным выше способом легко установить, что

и это поле скольжения удовлетворяет кинематическим условиям. Если же граничные условия для скоростей не удовлетворяются, то поле скольжения следует видоизменить.

Решения, отвечающие одновременно статическим и кинемати­ческим условиям, т. е. совместностью поля линий скольжения и поля (годографа) скоростей, дают так называемую действитель­ную величину усилий деформирования. Это надо понимать в том смысле, что такое решение не представляет собой только «нижней оценки» этого усилия (см. стр.212) и отличается от его «верхней оценки» в меньшую сторону. Эта верхняя оценка определяется построением кинематически возможного поля линий скольжения, удовлетворяющего условиям сплошности и граничным условиям для перемещений, но не удовлетворяющего условиям равновесия И2П.

Однако не следует забывать, что все решения, выполняемые методом линий скольжения на основе жесткопластической схемы, как правило, являются приближенными, подобно решениям, получаемым другими методами.