3 М. В. Сторожев 65

Произведения объема на логарифмиче­ские степени деформации представляют собой смещенные объемы V_c по соответ­ствующим направлениям х, у, г, т. е.

^у СХ \ ' су 1^ ^у с

0.

(2.9)

Отсюда следует еще одна формулиров­ка условия постоянства объема, а именно: сумма смещенных объемов по трем взаимно перпендикулярным направлениям равна нулю.

Рис. 2.7

В то же время один из смещенных объе­мов имеет знак, противоположный знаку двух других, а по абсолютной величине равен их сумме, т. е. будет максималь­ным по абсолютной величине.

Докажем, что произведение Кб действительно представляет собой смещенный объем. Пусть в данный момент деформации параллелепипед имеет, например по оси г, размер Z, который в следующий момент получает приращение dz (рис. 2.7). Легко видеть, что элементарный смещенный объем

dV_C2 = F₂ dz,

где F_z — площадь поперечных (нормальных к оси z) сечений тела в каждый данный момент процесса деформации; тогда

\F_tdz.

(2.10)

Если F,=

то

V_C2 = V (2.11)

где, как и раньше, Z„ и Z_fl — соответственно исходная высота тела и его высота после деформации. Интегрируя, получим

V_cz = У In ~- = УЬ_г (2.12)

и в общем виде

V_c = V6. (2.12а)

Для малых деформаций 6 = е,

К_с=Ке. (2.126)

Геометрический смысл смещенного объема ясен из рис. 2.8. Из написанного pa- ^ нее выражения (2.2) следует

In

Х_и

а V 7 — F

¹ д д ¹ Д.К'

_{так как Y 7 = F}

и F

Рис. 2.8

где F_m и f _ДЛ. — площади со­ответственно нормальных к

оси х сечений тела до и после деформации.

б» = In

- 1п|и

г их

Это дает возможность выразить степени деформации и смещен­ные объемы не только через линейные размеры, но и через площади сечений, нормальных к оси координат, в направлении которой рассматривается степень деформации и смещенный объем:

Хд

- ln-^- Хи Fnx

Х_и

- F

AF_X

Х_и

Хм

^Аналогично можно получить выражения для степеней дефор­мации по направлениям осей координат у и г. В общем виде можно написать

6 =

_{in 4^}

Fu

e =

(2.13)

Приведенное выражение (2.11) смещенного объема V_cz =

f dz

= V \ —, как следует из вывода, действительно только в том

случае, если величина площадей сечений тела F₂ как до деформа­ции, так и после деформации является постоянной по всей длине тела Z, например, когда цилиндр переходит в цилиндр, паралле­лепипед в параллелепипед и т. п.

2.7. Скорость деформации

Скоростью деформации будем называть изменение степени деформации в единицу времени или относительное смещение объема в единицу времени, т. е.

е =

dt

или, если величина деформации выражена по формуле (2.5), d&

(2.14а)

Размерность скорости деформации — с^-1. Вопрос о скоростях деформации в окрестностях любой данной точки будет рассмотрен далее (см. 118).

При постоянной скорости, а также для средней скорости

б =

(2.15)

или

(2.15а)

От скорости деформации следует отличать как скорость движения деформирующего инструмента (скорость деформиро­вания), так и скорость смещения тех или иных точек тела в про­цессе деформации. Размерность этих скоростей выражается в см/с.

При одной и той же скорости деформирования скорость дефор­мации может быть различной в зависимости, например, от разме­ров деформируемого тела, а скорости смещения точек дефор­мируемого тела могут изменяться от нуля до максимума.

Пусть происходит равномерное растяжение двух образцов разной исходной длины Z_Hl < Z_H2 (рис. 2.9) при одинаковой скорости деформирования, т. е. зажимы машины, захватывающие конца образцов по плоскостям а₁Ь₁ и а₂Ь₂, движутся с одинаковой скоростью. Пусть плоскости а₁Ь₁ и а₂Ь₂ в единицу времени пере­местятся в положение aib'i и dib'i.

Так как скорость деформирования принята одинаковой, то b\b'\ = ЬчЪ'ъ = Ъ_А\ — Z_Hi = Z_A2 — Z„₂ = AZ. Скорости же де­формации будут (промежуток времени принят, как указано, за

и е,

единицу)

(2.156)

■?и 1

AZ

откуда

Ч

•?И 2

(2.16)

Таким образом, при одной и той же скорости деформирова­ния скорость деформации при равномерном растяжении (и сжатии) обратно пропорцио­нальна длине (высоте) образца. Если обозначить скорость деформирования через v, то для промежутка времени, равного единице, AZ = v.

Подставляя в равенства (2.156), получим

Е[ = или е_г = -=Д-. (2.16а)

Выражения (2.16а) дают связь между скоростью деформации, скоростью деформирования и линейным размером в каждый дан­ный момент при равномерном растяжении и сжатии.

Скорости смещения ш_с точек рассматриваемых тел будут изменяться по их высоте по закону прямой от нуля в месте за­крепления до максимума в плоскостях ab, как показано на эпюрах рис. 2.9.