5.3. Геометрический смысл энергетического условия пластичности

Если в условии пластичности, отображенном в уравнении (5.3)

К - о₂)² 4- (о, — о₃)² 4- (о₃ — Ол)² = 2а²,

рассматривать напряжения о_1; о₂ и а₃ как текущие координаты, то уравнение (5.3) представит собой поверхность неограниченного 128

по длине круглого цилиндра с радиусом г = у -j o_s, ось

которого проходит через на­чало координат и одинаково наклонена к осям координат, т. е. составляет с каждой из них угол, косинус которого

равен ~=.

Если главные нормаль­ные напряжения в каком-ли­бо элементе тела таковы, что они определяют точку, лежа­щую на поверхности цилинд­ра, то этот элемент будет в пластическом состоянии. Та­ким образом, поверхность

согласно уравнению (5.3) является «предельной поверх­ностью пластической деформации» по энер­гетическому условию пластичности. Графически этот цилиндр представлен на рис. 5.2.

Если главные нормальные напряжения в элементе тела таковы, что они определяют точку, лежащую внутри цилиндра, то эле­мент будет находиться в упругом напряженном состоянии. Комби­нации же напряжений, определяющие точки вне поверхности ци­линдра, не имеют физического смысла. Понятно, что существует неограниченное число комбинаций величин главных нормальных напряжений, удовлетворяющих уравнению (5.3), поскольку число точек на поверхности цилиндра бесконечно большое.

Чем больше напряжение текучести o_s, тем больше и радиус цилиндра г. Если деформация сопровождается упрочнением, то o_s увеличивается и, следовательно, предельная поверхность пла­стической деформации расширяется.

¹ Это вытекает из того, что уравнением плоскостей, нормальных к оси ци­линдра, является уравнение а₁ + ст₂ + °з = Р где р—длина нормали, проведенной из начала координат к этой плоскости.

б. М. В. Сторожеа 129

Окружности на поверхности цилиндра (например, а), полученные пересечением его плоскостями, перпендикулярными к его оси, представляют собой геометрические места точек, опре­деляющих предельные напряженные состояния, для которых сумма главных нормальных напряжений постоянна ^х, т. е. напряженные состояния с одинаковым шаровым тензором (гидростатическим давлением). В частности, для круга Ь, образованного пересечением цилиндра плоскостью, проходящей через начало координат О, эта сумма равна нулю (т. е. напряженное состояние является чисто девиаторным).

Образующие цилиндра (например, с) являются геометри­ческими местами точек, для которых постоянны разности трех главных напряжений, т. е. определяют напряженные состояния с одинаковым девиатором.

Возьмем сечение поверхности, выраженной уравнением (5.3), координатной плоскостью а₃ = 0; тогда, подставляя о₃ = 0 в уравнение (5.3), получим ''

(«Л - <т₂)² + о\ + а\ = 2а]

или

2 2 2

01 + G₂ — 0102 = 0_S.

(5.9а)

Сечениями каждой из двух других координатных плоскостей (а₂ = 0 и о_г = 0) соответственно являются

«1 + <?з — trio-з = 0_S;

О"! + ОГ3 — СТ2СТ3 = о².

(5.96) (5.9в)

Уравнения (5.9) определяют совершенно одинаковые эллипсы с центрами в начале координат и осями, наклоненными под углом 45° к соответствующим осям координат.

Элементарными приемами аналитической геометрии можно определить координаты всех характерных точек эллипса и его полуосей (рис. 5.3). Ясно, что малая полуось эллипса равна по величине радиусу цилиндра, т. е. (рис. 5.3)

-T₃^6s'-vl^6s

Рис. 5.3

Уравнения (5.9) получены подстановкой в условие пластично­сти (5.3) с₃,₂, х = 0. А при одном из главных напряжений, равном нулю, напряженное состояние будет плоским. Значит, уравнения (5.9) являются условием пластичности для плоского напряженного состояния, а эллипс, определяемый уравнениями (5.9), — пре­дельным контуром пластичности для плоского напряженного состояния. Так как координатные оси равноправны, то безразлично, каким индексом (1, 2 или 3) обозначить главное нормальное напряжение, равное нулю. Поэтому, как и раньше, считаем с₂ = 0. Из рис. 5.3 следует, что при плоском напряжен­ием состоянии ни одно из главных напряжений (при пластическом Состоянии) не может превысить величины

-£= c_s= 1,155с,.

у3

Четыре точки эллипса (0, c_s; c_s, 0; 0, —c_s; —o_s, 0) определяют линейное напряженное состояние (линейные растяжение и сжа­тие). Другие четыре точки ^= о„ у= o_s; yfO» yf°°>

1 2 2 1 \

'— -у= ^Gs> — °s ^{и —} -у = °_s, ^— у~ o_sj соответствуют наличию

одновременно не только плоского напряженного состояния, но и плоского деформированного состояния, так как одно из напря­жений равно полусумме двух других (при этом принимается во внимание и напряжение, равное нулю):

0 -1- от 0 + о»

— о,, или -——— =01.

2

Две точки -j/=⁰s» ^— ry= o_s и — -у=^а*> ~у%^а° ^{соответств}У^{ют чи}"

стому сдвигу, поскольку при одном напряжении, равном нулю, два других равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.