Построение логарифмической спирали

Итак, при построении опорных точек спирали Архимеда длины радиусов-векторов точек с увеличением угла поворота  луча, на котором они лежат, на величину  мы увеличивали на постоянную величину r=k. При построении опорных точек логарифмической спирали при повороте радиуса-вектора на величину  расстояние опорной точки от точки О надо увеличивать в t раз (то есть последовательность длин радиусов-векторов опорных точек образует геометрическую прогрессию с множителем t). Если соединить опорные точки плавными дугами, получится график логарифмической спирали. Логарифмическая спираль пересекает радиусы-вектора своих точек под одним и тем же углом (рис. 7г). Логарифмические спирали не так уж редки в природе. Головка подсолнуха, например, как бы соткана из логарифмических спиралей, образующих два семейства: к одному относятся спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, к другому – против часовой стрелки.

С ейчас мы расскажем, как построить логарифмическую спираль и, вообще, симметричный узор в круге, состоящий из семейства дуг спиралей.

Построение узоров в круге на основе сеток

Создание узора в круге обязательно начинается с построения сетки. Сетка в круге строится на основе концентрических окружностей и радиусов, соединяющих центр круга и точки деления окружности на n равных дуг. Опорные точки для спирали Архимеда мы фактически строили на сетке, полученной с помощью системы концентрических окружностей, радиусы которых образовывали арифметическую прогрессию.

Если при построении сетки использо-

вать концентрические окружности, радиусы Схема спиралей подсолнуха

которых образуют геометрическую прог-

рессию, то получим сетку, узлы которой являются опорными точками для дуг логарифмических спиралей.

На рисунке 8а представлена сетка, построенная на основе деления окружности на n=24 части и 4-х концентрических окружностей, радиусы которых образуют арифметическую прогрессию (радиус поделен на N=4 равные части). Если мы хотим, чтобы первый пояс составлялся из трапеций, у которых одно из основание (дуга s) равно боковой стороне, то есть практически из квадратов, надо чтобы s=2r/nr/N или n=2N6N (на рис 8а именно такое построение).

Н а рисунке 8б изображена сетка, построенная на основе деления окружности на 16 частей с использованием окружностей, радиусы которых образуют геометрическую прогрессию с множителем q=0,7

На каждом рисунке по сетке построены дуги спиралей – архимедовой и логарифмической, соответственно. Приведены примеры спиралей, построенных вращением радиуса-вектора как по часовой, так и против часовой стрелки (правая и левая спирали). Если повернуть правую и левую дугу спирали на угол 2/n n раз, то в круге получится красивый орнамент из дуг.

Симметрия подобия в круге. Сетка, обеспечивающая подобие

Большой популярностью пользуются орнаменты, использующие принцип сохранения подобия квантов при уменьшении их расстояния от центра. Сетка для таких орнаментов строится на основе концентрических окружностей, диаметры которых образуют геометрическую прогрессию. Покажем это и определим знаменатель этой прогрессии. Одновременно научимся строить нужную сетку с помощью циркуля и линейки.

Для того, чтобы понять, почему простая сетка, построенная на основе окружностей, радиусы которых образуют арифметическую прогрессию, не обеспечивает подобия, рассмотрим форму ее ячеек. Нарисуем окружность радиуса r, поделим ее на n равных дуг и соединим точки, полученные на окружности, с помощью прямых с центром. Длина каждой дуги равна s=2r/n. Поделим радиус окружности на N одинаковых частей и проведем окружности радиуса =r/N, 2=2r/N, 3=3r/N и т.д. Мы получим в круге сетку. На основе такой сетки мы строили спираль Архимеда. Cетка состоит из ячеек, у которых соотношение между длиной и шириной зависит от расстояния ячейки от центра. Если у самой удаленной от центра ячейки (ей присвоим номер 0) длина стороны по меридиану =r/N, а длина стороны-дуги s=2r/n, то при приближении ячейки к центру ее длина по меридиану  сохраняется, а длина стороны-дуги уменьшается, так как она пропорциональна радиусу r_i=r-i (s_i =2r_i/n.), а последовательность длин радиусов образует убывающую арифметическую прогрессию.

Таким образом, соотношение между «шириной» и «длиной» у ячеек по мере приближения к центру окружности уменьшается и ячейки такой сетки не являются подобными фигурами. Для создания орнаментов, требующих соблюдения принципа подобия, нужна такая сетка, у которой отношение «длины» и «ширины» ячеек было бы величиной постоянной, равной, например, 1. Строить такую сетку начнем, начиная от слоя, наиболее удаленного от центра. По-прежнему, s₀=2r/n, но теперь ₀=s₀=2r/n. Пусть t=2/n. Тогда:

s₀=tr, ₀=s₀=tr,

r₁=r-₀=r-tr=r(1-t), ₁=s₁=tr₁=rt(1-t)

Методом полной индукции можно доказать, что:

r_i=r(1-t)ⁱ, _i=rt(1-t)ⁱ , то есть длины радиусов окружностей и величина расстояния между ними суть убывающие геометрические прогрессии. Найдем значение . Воспользуемся формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой b₁=tr, q=(1-t):

Выведенное соотношение демонстрирует, что при таком способе построения сетки, она покроет круг целиком. Если приравнивать друг другу расстояние между соседними окружностями сетки и дугу внутренней, а не внешней окружности, как мы только что делали, то r_i=r(1+t)^-i, _i=rt(1+t)^-i. То есть r_i и _i также образуют геометрическую прогрессию, и при n, стремящемся к бесконечности, сетки будут различаться как угодно мало.

Предложенный метод построения сетки может быть с точностью, удовлетворительной для практических нужд (имеется в виду построение в круге орнаментов, использующих подобие), без всяких расчетов реализован с помощью циркуля и линейки. Проведем окружность радиуса а и построим радиус ОА₀. Поделим окружность на n частей–дуг (например, на 24 части, для n=24 угол между радиусами равен 15). Измерим с помощью циркуля длину дуги, вернее хорды АВ. При n24 различие между длиной хорды и длиной дуги не превышает одного процента, кроме того, принцип подобия можно определить и как сохранение отношения длины хорды к длине r. Отложим эту величину на отрезке ОА₀ от точки А₀ в направлении к центру О. Получаем точку А₁ и радиусом ОА₁ проводим следующую окружность. Измеряем длину ее хорды А₁В₁, эту величину откладываем от точки А₁ на радиусе ОА₀ и продолжаем процесс (рис. 8в). Ячейки довольно скоро становятся очень маленькими. Орнамент обычно заканчивают, прекращая рисунок, или помещая в центре красивую розетку.

Отметим, что сетка, построенная с помощью деления круга на 16 частей и окружностей, длины радиусов которых образуют геометрическую прогрессию с множителем q=0,607, с неплохой точностью обеспечивает сохранение подобия. Действительно, для такой сетки:

q=1-2/161-0,3930,607.

Прекрасные узоры в круге и в квадрате, в которых соблюдается принцип подобия, можно найти, например, у Эшера.