Решетки

Перенос, отражение, поворот лежат в основе симметричных узоров решеток и витражей. Самые простые виды решеток – прямоугольная (рис. 13а) и ромбическая (рис. 13б). На рисунке 13в представлен эскиз решетки из полуокружностей, в котором используется перенос. Дуги окружностей можно спрямить. Из тех же дуг полуокружностей, если применить отражение, получается совсем другая решетка (рис. 13г). Вписав внутрь кванта еще две полуокружности, получаем еще один узор (рис. 13д). Такие узоры могут использоваться и для витражей. Дуги можно спрямить или равномерно сжать, придать им более изящную форму, внутрь кванта поместить узор и т. д.

Очень распространена решетка, изображенная на рисунке 14а. Она строится из дуг размера 120 плотно уложенных окружностей. Наиболее плотная укладка кругов на плоскости – термин, введенный для описания схемы укладки кругов, при котором достигается наиболее полное заполнение плоскости кругами (в одной из следующих глав мы научимся вычислять величину максимального коэффициента заполнения плоскости кругами).

Т ак как в природе обычно реализуются оптимальные схемы, требующие наименьших затрат материала и энергии, примеры наиболее плотной укладки встречаются и в природе. Если свалить в кучу пушечные ядра или круглые бусинки, то они естественным образом примут вид конуса. На плоскости аналог "естественной" укладки кругов можно получить следующим образом. Возьмем идеальные бревна, имеющие одинаковое сечение в виде круга. Свалим их в кучу следующим образом. Положим первый ряд из бревен - вплотную друг к другу, следующий ряд положим в пазы, образованные нижним рядом и т.д. Вид кладки со стороны торцов бревен даст картинку наиболее плотной укладки кругов на плоскости (рис. 14б).

Наиболее плотная укладка кругов на плоскости строится на основе треугольной решетки. Вокруг вершин треугольной решетки радиусом, равным половине ребра решетки (стороны треугольника) описываются круги (рис. 14в). Дуги касающихся друг друга уложенных плотно окружностей сопрягаются друг с другом без излома. На рисунке 14г показано, как из дуг плотно уложенных окружностей строится решетка. При вершинах основания треугольников радиусом, равным половине основания, проводятся дуги длины 60.

Целиком замостить плоскость кругами, естественно, нельзя. Если провести касательные к каждому кругу в точках, где он соприкасается с шестью окружающими его кругами, то эти касательные образуют правильный шестиугольник, описанный около круга (рис. 14д). Если заменить каждый круг на окаймляющий его шестиугольник, то получатся пчелиные соты - правильная конфигурация из шестиугольников, заполняющая всю плоскость. На рисунке видно, что для того, чтобы построить пчелиные соты, не надо строить плотно уложенные окружности. Достаточно построить сетку из равносторонних треугольников и объединить по 6 треугольников в шестиугольник. Если мы хотим, чтобы у шестиугольника две стороны были не горизонтальные, а вертикальные, то основания треугольников надо располагать не на горизонтальной прямой, а на вертикальной (рис.14е)

Все приведенные решетки обладают тем свойством, что строятся на основе одного кванта, которым целиком заполняют плоскость. Предположим, что мы хотим, чтобы взятый нами за основу квант имел форму креста – такие решетки часто создаются для церковных окон, дверей и ворот. На рисунках 15а,б приведены два простейших макета решеток из крестов. Первая из них - кресты + фон, кресты второго макета заполняют плоскость без фона.

Если кресты первого макета расположить так, как расположены кресты второго макета, незаполненный фон все равно будет присутствовать (рис. 15в).

Для того, чтобы убрать промежуток между крестами, надо увеличить ширину креста. Длина горизонтальной ветви креста должна быть ровно вдвое меньше ширины вертикальной ветви (рис. 15г).

Квант такой решетки строится на основе ромба. Он имеет две оси симметрии (горизонтальную и вертикальную) и инвариантен относительно поворота на 180. Кроме того, его нижняя левая сторона при переносе вправо-вверх должна совпасть с правой верхней. В силу того, что левая нижняя сторона совпадает с правой верхней и после поворота на 180, сторона ромба должна быть симметричной относительно своего центра (на рисунках 15б,г центр симметрии стороны отмечен жирной точкой). Таким образом, для того, чтобы построить решетку из крестов, в которой квант фона равен основному кванту, надо начертить основу – ромбическую решетку, искривить половину ребра ромба, отразить эту линию по правилам центральной симметрии относительно середины ребра и построить остальные ребра кванта с помощью отражения от диагоналей ромба. На рисунках 15г,д приведены макеты распространенных решеток, построенных по этому принципу.

Крайне важно понимать законы симметрии при построении мозаик. Мозаикой заполняют плоскость – пол, стену, дверь, ковер и т.д. Контуры мозаик могут использоваться для изготовления плетеных сетей (например, в виде пчелиных сот) или в узорчатых решетках.