Пропорция . Нормальный полиграфический лист

Б удем говорить, что лист бумаги нормальный, если при сложении его вдвое получится подобный ему лист (рис. 3а). Если а и b означают длинную и короткую стороны нормального листа, то: a:b=b:a/2. Отсюда следует, что a²=2b² и . Такая форма листа положена в основу типографских стандартов: А₀:1189841мм²_, А1:841594мм², А2:594420мм², А3:420297мм², А4:297210мм². Площадь А₀ – 1м², площадь А₁ – 0.5м² и т.д. (рис.3а). Такие пропорции имеют газетные листы, листы ватмана, листы бумаги для компьютера. Эта форма позволяет разрезать без обрезков бумагу на куски стандартной пропорции

Прямоугольник, отношение длин сторон которого легко построить с помощью циркуля и линейки - у квадрата со стороной b диагональ имеет длину (рис. 3б). Прямоугольник такой формы называется нормальным.

Пропорция «квадрата и его диагонали» использовались русскими мастерами еще в самые древние времена. (о методе «квадрата и диагонали» см. ниже).

Для многих практических целей вместо построения с помощью циркуля и линейки желательно иметь приближение числа в виде отношения p/q двух целых чисел p и q. Это позволило бы чертить прямоугольник нормальной пропорции на "клетчатой" бумаге. При этом хотелось бы, чтобы q имело минимальное значение. Число не является рациональным, его нельзя представить в виде отношения p/q никаких двух целых чисел p и q. Для того, чтобы получить хорошее рациональное

приближение для , воспользуемся тем, что это число можно записать в виде так называемой непрерывной дроби:

.

Действительно, если обозначить эту дробь через х, то дробь под первой чертой будет равна 1+х. Тем самым:

.

Обрывая дробь перед первым, вторым, третьим и т.д. знаком плюс, мы будем получать улучшающиеся с каждым шагом приближенные значения числа . Выпишем первые несколько значений: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70,… Арифметические формулы, связывающие любую дробь p/q этого ряда со следующей за ней дробью P/Q таковы: Q=p+q, P=q+Q=p+2q. В десятичной форме эти дроби дают ряд: 1; 1,5; 1,4; 1,417; 1,414;… и дробь p/q можно использовать в качестве рационального приближения для числа . Таким образом, чтобы нарисовать с неплохой точностью на клетчатой бумаге нормальной прямоугольник, можно взять прямоугольник со сторонами 7 и 5 клеток, или прямоугольник со сторонами 17 и 12 клеток и т. д.

Гипернормальным называется такой прямоугольник, что если от него отрезать два квадрата, то получится новый гипернормальный прямоугольник. Его можно построить из двух одинаковых нормальных прямоугольников (на рис. 3в заштрихованный прямоугольник гипернормальный). Если обозначить длину большей стороны прямоугольника через a+b, а меньшей стороны через b, то для гипернормального прямоугольника выполняется: . Желающие могут проделать выкладки самостоятельно и получить, что отношение сторон у гипернормального прямоугольника: 2,414.

Метод «квадрата и его диагонали» в русской архитектуре. Восьмерики

На Руси, в те времена, когда еще не было обеспечено соблюдение единой меры, мастерами была выработана система пропорций. Единица измерения при таком подходе не слишком важна. Это может быть палка, цепь с узлами, длина бревна, толщина стены и т.д. Обычно пользовались единицами, тесно связанными со средними размерами человеческого тела. Главным элементом любой постройки была квадратная клеть. Правильность прямых углов проверялась равенством диагоналей квадрата. Диагональ квадрата позволяла без вычислений получать удвоенную площадь. Так были выработаны единицы измерения, обеспечивающие "соизмеримость" стороны квадрата и его диагонали. Принятые в древние времена единицы измерения - великая косая сажень (249см) и мерная сажень (176см - размах рук, примерно равен росту человека), косая сажень (216см) и простая (153см) соотносятся, как диагональ квадрата и его сторона (косая приблизительно равна простой, умноженной на число : 176 249 и 153 216) (не следует удивляться, встретив в разных источниках некоторое расхождение в размерах для одной и той же единицы измерения - эталоны мер в древние времена не отличались большой точностью). Простой сажени соответствовали: шаг (полусажень ≈76см), локоть (1/4 сажени ≈38см), пядь (1/8 сажени ≈19см). Между саженью и полусаженью располагалась сажень-локоть (≈108см), "соизмеримая" с ними, как диагональ квадрата и его сторона, между локтем и пядью располагалась нога (≈27см), и т.д. (на рис. 4а - по горизонтали видны размеры – 2 простых, 1 простая, половина простой, под углом 45 и 135 - 2 косых, 1 косая, половина косой; с помощью подсчета количества одинаковых треугольников легко увидеть, что площадь каждого вписанного квадрата вдвое меньше, чем у объемлющего).

Покажем на простом примере, как на основе пропорции древние мастера производили разметку на земле плана будущей постройки. Если закладывалась церковь, то первым делом намечалось место для центра подкупольного квадрата и на рассвете в день весеннего равноденствия определялось направление на восток. Размечался квадрат центральной клети, затем намечались планы трапезной, притвора, алтарной части. При разметке использовался плотничий наугольник, в качестве циркуля - веревка с колышками на концах. Для того, чтобы присоединить к квадрату церкви трапезную или притвор, часто использовалось увеличение стороны квадрата в раз. На рис. 4б размер трапезной вдвое больше, чем размер церкви, ширина притвора определяется диагональю трапезной. Переход от одного размера к другому производится по схеме, изображенной на рис. 4а.

б)

а)

Притвор

Трапезная

Церковь

Алтарь

1 косая

1/2 простой

План Грановитой палаты в Кремле-пропорция 1:

1 простая

1 косая

2 простых

2 косых

Рис. 4

Для увеличения объема церкви, с сохранением количества бревен, требующихся для ее постройки, то есть длины периметра, достаточно заменить квадратный план церкви на восьмиугольный.

Действительно. Пусть у нас имеется материал для постройки помещения, периметр которого равен Р, и мы хотим, чтобы площадь помещения была как можно больше. Так как рассуждения не зависят от использующихся единиц измерения, будем считать, что Р=8а (например, это 8 бревен). Если мы сделаем помещение квадратным со стороной 2а, то S=4а²_. Если помещение имеет форму прямоугольника со сторонами 1а и 3а, то площадь S=1а3а=3а², и чем более узкий прямоугольник мы будем брать, тем больше будет потеря в площади. Площадь помещения, имеющего форму правильного восьмиугольника со стороной а, вычисляется, как легко видеть из рисунка восьмерика (рис. 5), так: из площади квадрата со стороной надо вычесть площади 2-х квадратов со стороной . Проделаем эти выкладки:

Мы получили, что площадь правильного восьмиугольника примерно на 20% больше площади квадрата, имеющего тот же периметр.

Еще больше при том же периметре площадь у круга. Если длина окружности Р=2R=8а, то R=8а/2=4а/ и площадь такого круга S=R²=16а²/5,09а². Проведенные расчеты являются иллюстрацией к утверждению, что при равном периметре из всех фигур наибольшей площадью обладает круг. Это утверждение в математике строго доказывается. Стоит заметить, что при строительстве крепостей древние мастера это заведомо учитывали.

Восьмиугольный план очень удобен и для пристройки дополнительных прирубов, и для размещения на нем четверика и для улучшения впечатления от интерьера. На рисунке 5 приведены примеры некоторых планов.

Высота храма обычно связывалась пропорциональными соотношениями с другими размерами храма. Например, силуэт Киевской Софии (вместе с галереями) напоминает прямоугольный треугольник, поставленный на гипотенузу. Такой треугольник просматривается в силуэтах многих храмах. У прямоугольных в плане храмов полная высота (до верха маковки), часто приравнивалась длине, высота стен церкви составляла половину длины и на половину длины подымались закомары, своды, барабан и маковка. Естественно использовались и более изысканные пропорциональные отношения.

На рисунке 6 приведены модели наиболее типичных силуэтов церквей. Первый силуэт – киевская София (в настоящее время сильно перестроена и изменен силуэт маковок), далее следует силуэт Успенских соборов в Чернигове и в Московском Кремле – при их строительстве соблюдены каноны Киевской Софии. Затем следуют два силуэта однокупольных соборов, имеющих форму куба, с разными вариантами полной высоты, и силуэты северных деревянных храмов, высота которых равна - у левого длине церкви + алтаря, у правого – полной длине.

Конечно, то, что мы описали, только один из способов пропорционирования, которыми пользовались русские мастера. Из древнего Египта в Грецию, из Греции через Византию на Русь пришло пропорционирование на основе "золотого сечения". Были на Руси и меры, пришедшие через Византию из Греции и Рима. Если гармонизация следовала отношению , то могла использоваться мера, подчиняющаяся этой пропорции. Там, где использовалась "золотая" пропорция, требовались методы, основанные на свойствах “золотого” отношения. Если пропорция строится на основе диагонали квадрата, то при пропорционировании на основе "золотого" сечения используются производные от диагонали прямоугольника с отношением сторон 2:1 (такой прямоугольник называют полуквадратом или двойным квадратом) и ряды геометрических прогрессий с "золотым" множителем. Прежде, чем познакомить вас с понятием "золотого сечения", напомним некоторые формулы.