Бесконечные прогрессии

Сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

(так как при q<1 )

Легко видеть, что для бесконечной прогрессии с_i, члены которой суть разность членов геометрической прогрессии имеем:

Пример

1. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q=1/2.

Выпишем несколько первых членов этой прогрессии и формулу ее n-ого члена:

Согласно формуле имеем:

Геометрическая прогрессия c_i, членами которой являются разности членов этой прогрессии: Ее сумма S=1.

Нарисуем окружность радиуса r₁=R и центром О. Зададим некоторый коэффициент q<1 и нарисуем вокруг того же центра О окружности радиуса r₂=Rq, r₃=Rq², r₄=Rq³,…, r_n=Rq^n-1 . Значения радиусов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q и b₁=R. С ростом номера окружности радиусы окружностей становятся все меньше.

На рисунке 2а изображены 4 окружности, построенные по этому алгоритму для q=1/2. Ширина колец между окружностями – также геометрическая прогрессия с тем же знаменателем q=1/2. А формула получает геометрический смысл – кольца в совокупности покроют всю окружность. На рисунке 2б то же построение выполнено для квадратов. На рисунке 2в приведено построение последовательности отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию: a, aq, aq², aq³, aq⁴. Мы воспользовались тем, что прямоугольники, у которых длины сторон равны величине двух соседних членов прогрессии, подобны (отношение длин их сторон равно q), следовательно, их вершины лежат на одной прямой, проходящей через их диагональ. Теперь рассмотрим случай, когда ширина концентрических колец образует прогрессию с b₁=R и q<1. Сначала рисуем окружность радиуса R, затем отмечаем ширину кольца, равную Rq, полученным радиусом (он равен R+Rq) проводим вторую окружность, отмечаем ширину кольца Rq²_, полученным радиусом (R+Rq+Rq²) проводим третью окружность и т.д. С помощью этого алгоритма можно построить бесконечное количество концентрических окружностей. Все они впишутся в окружность, радиус которой вычисляется, как сумма бесконечной геометрической прогрессии:

На рисунке 2г изображены первые 4 окружности, построенные по этому алгоритму, для q=1/2. Приведенная формула показывает, что для q=1/2 суммарная площадь всех колец S=2R. На рисунке 2д приведено то же построение для квадратов. Для длины стороны квадрата верны те же формулы, что и для радиуса окружности. Следовательно при q=1/2 вся конструкция впишется в квадрат, сторона которого вдвое больше стороны первоначального квадрата. Для сравнения на рисунках 2е и 2ж изображены 4 окружности и 4 квадрата, размеры радиусов и сторон которых определяются арифметической прогрессией.

Рис. 3: Пределы и самоподобие в гравюрах М. Эшера

Р ис. 3а: Пределы и самоподобие в гравюрах М. Эшера

Примеры из финансовых расчетов

Все приведенные здесь формулы находят широкое применение в самых разных областях. Например, в сфере банковских расчетов, когда в финансово-банковских операциях участвуют не разовые платежи, а некоторая последовательность платежей во времени.

Рассмотрим самый простой случай. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (i= – p – процент наращения, i – ставка наращения). Все взносы, кроме последнего, приносят проценты – на первый взнос проценты начисляются n-1 раз, на второй – n-2 раза и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Наращенные к концу срока суммы составят:

R(1+i)^n-1, R(1+i)^n-2,…, R(1+i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Легко видеть, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Следовательно, наращенная сумма такого потока вычисляется по формуле:

При n=1 наращенная сумма S₁=R. При i=0 (нет наращения) формула не работает, но она и не нужна, так как S_n=nR. При i>0 наращенная сумма S_n>nR.

Задачи

1. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в течение 4 лет в виде взносов 4млн. рублей в конце года. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 12% годовых. Величина фонда на конец срока составит:

Заметим, что внесено в фонд в виде взносов было 16 млн. руб. (чт о соответствует i=0).

2. Через 3 года понадобится для организации начала работ 1млн. руб. Какими должны быть ежегодные взносы в банк, начисляющий 10% годовой прибыли?

Решение:

Взносы будем производить по схеме: сразу кладем в банк R рублей, через год, еще R рублей, через 2, через 3 года по R рублей. Всего 4 взноса. Через 3 года наращенные платежи станут такими: R(1+0,1)³, R(1+0,1)², R(1+0,1), R. Выписав члены последовательности в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию с начальным членом b₁=R, знаменателем q=1+0,1=1.1, n=4. Значение суммы нам известно, это 1 млн. руб. - столько мы должны накопить к концу срока. По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

Подставляем в формулу наши данные:

1000000=R(1,1⁴-1):0,1=R10(1,4641-1)=R4,641; R=1000000:4,641=215.470,8руб.

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько членов надо взять в арифметической прогрессии: 4, 8,…, чтобы их сумма равнялась 112?

2. Выписать первые 11 членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1 и а)q=2, b)q=1/2. Для этих прогрессий выписать первые 10 членов последовательностей, члены которых есть разность двух соседних членов геометрической прогрессии.

3. Выписать первые 9 членов геометрических прогрессий, если:

а) b₁=1/16, q=2,

b) b₁=16, q=1/2.

4. Нарисовать 5 концентрических окружностей, радиусы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: а) q=1/2, б) q=2

5. Выписать 5 первых членов геометрической прогрессии, если b₁=1, а) q=0,6; б) q=0,618. Для этих прогрессий выписать первые 5 членов последовательностей, члены которых есть разность двух соседних членов геометрической прогрессии. Если рассматривать 0,6 как приближение для 0,618, то какова будет точность приближения для 2-ого, 3-его, 4-ого и 5-ого члена прогрессии? Указание. Воспользоваться формулами:q=q₁-, qⁿ=(q₁-)ⁿ=q₁ⁿ . (сравнить q₁ и q₂, q₁² и q₂² и т.д.).

6. Выписать 5 первых членов геометрической прогрессии, если b₁=1, а) q₁=1,6; б) q₂=1,618. Для этих прогрессий выписать первые 5 членов последовательностей, члены которых есть сумма двух стоящих рядом членов геометрической прогрессии: u₁+u₂, u₂+u₃,….

7. Нарисовать 5 концентрических окружностей, радиусы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем а) q=0,6, б) q=1,6