Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции мы будем называть вогнутым в интервале (a,b), если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале (рис. 24а).

По аналогии график дифференцируемой функции выпуклый в интервале (a,b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале (рис. 24б).

За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная функции y=f(x). Если функция y=f(x) имеет вторую производную f''(x) во всех точках интервала (a,b) и если во всех точках этого интервала f''(x)<0, то производная f'(x) убывает и график функции в интервале (a,b) – выпуклый. Если же f''(x)>0, то производная f'(x) возрастает и график функции в интервале (a,b) – вогнутый.

Точка M₀(x₀, f(x₀)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x) (рис. 24в). Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых y''=f''(x)=0, или f'' бесконечна или не существует.

Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом

Рассмотрим различные формы кровель (куполов, маковок) с точки зрения выпуклости и вогнутости их силуэтов и их усложнение по мере развития архитектурных идей. Приведем схемы главных силуэтов.

Самый простой купол - полусфера или ее часть, имеет выпуклую форму (рис. 25а).

В Японии, Китае были распространены вогнутые кровли (рис. 25б). На арабском Востоке приняты выпуклые купола (рис. 25в).

На Руси первые маковки имели форму шлема, то есть полусферы (рис. 26а). Позднее "шишак" шлема начали вытягивать вверх, и в отличие от восточных куполов на русских куполах имеется перегиб – центр дуги окружности в точке перегиба "перекидывается" на другую сторону касательной. Самая простая модель для построения маковки циркулем и линейкой – перегиб на длине дуги в 60, сопряжение дуг в точке перегиба гладкое, то есть сопрягающиеся дуги имеют общую касательную, и центры дуг лежат на одной прямой (рис. 26б). Для усовершенствования формы бока маковки в XVI веке начали раздвигать, центры дуг при этом не лежат на одной прямой и перегиб получается с изломом.

На рисунке 26в приведен пример такой маковки (пример взят из журнала "Реставратор", 1999г., вып.10). В точке сопряжения проведены касательные, видно изменение угла наклона касательной при прохождении точки перегиба.

На чертеже видны излюбленные мастерами пропорции - в основе построения лежат 4 квадрата со стороной а. Сечение маковки до перегиба вписано в золотой прямоугольник, малая сторона которого равна а. Расстояние от уровня перегиба до креста, венчающего маковку, равно диагонали квадрата со стороной а, сечение барабана – прямоугольник, меньшая сторона которого равна стороне квадрата, большая получается с помощью «золотого» сечения отрезка, равного двум сторонам квадрата, т. е. равна 2а, где =0,618 ("двойное золото" 21,236).

В XVIII веке появились маковки очень сложной формы, состоящие из многих дуг и дополнительных крыш с перегибами. Появились даже маковки с целиком вогнутой верхней частью (рис. 26г).