Полярная система координат

Приведем пример еще одной системы координат на плоскости, тоже достаточно простой и в некоторых случаях более удобной, чем декартова система.

Пусть на плоскости даны некоторая точка О и проходящая через нее ось ОР. Точку О будем называть полюсом. А ось ОР – полярной осью. Положение любой точки М плоскости определяется расстоянием r этой точки от полюса и полярным углом φ между полярной осью и радиусом-вектором точки. Величина радиуса-вектора r и полярного угла φ будут координатами точки (рис. 5). Две координаты – r и φ определяют единственную точку плоскости. Действительно, эту точку, зная r и φ, можно найти с помощью следующей процедуры. Опишем вокруг точки О окружность радиуса r. Возьмем тот ее радиус, угол между которым и полярной осью ОР равен φ. Координаты точки пересечения этого радиуса и окружности r и φ (рис. 5).

Такая система координат называется полярной. А координаты r и φ – полярными координатами. Принято считать, что φ принимает значения от нуля до 2, а значение r всегда положительно. Заметим, что величина радиуса-вектора полюса О равна нулю, а его полярный угол не определен.

Угловые координаты удобно применять в тех случаях, когда важным параметром является направление на плоскости.

Например, угловую полярную систему координат на плоскости задает компас, стрелка которого указывает всегда на север. Центр системы находится там, где находится наблюдатель. Шкала компаса делится на 360. Грубые ориентиры – направления на восток (90), юг (180) и запад (270). При отсутствии компаса для определения направления можно, пользуясь часами и знанием правил пропорций, ориентироваться по солнцу.

Примеры

1.Примем, что солнце бывает на востоке в 6 часов утра, на юге в 12 час дня, на западе в 6 часов вечера. На каком направлении находится солнце а) в 3 часа дня, б) в 10 часов утра, в) если нам надо идти на юг, а сейчас 9 часов утра, какой угол должно составлять наше направление с направлением на солнце?

Р ешение. Рисунок 6 поможет понять решение. Будем руководствоваться тем, что расстояние в градусах между востоком и югом и между югом и западом равно 90, а разница во времени для 90 градусов равна 6 часам.

а) , х=45^ - в 3 часа дня солнце на юго-западе (в 45 к югу от запада - 225).

б) , х=60^ - в 10 часов утра солнце в 60 от востока к югу - 150.

с) , х=45^ - в 9 часов утра солнце на юго-востоке, надо идти так, чтобы солнце было слева под углом 45 к направлению движения.

Связь между декартовыми координатами и полярными

Часто можно легко выписать формулу, показывающую, как изменятся координаты точки М, если от одной системы координат перейти к другой. Выведем формулы связи между декартовыми координатами (x,y) и полярными r и φ.

Пусть даны: декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью X (рис. 7а), x и y – декартовы координаты точки, r и φ – ее полярные координаты. Из треугольника, образованного точками О, М и х, видно, что зависимость между полярными координатами r и φ точки М и ее прямоугольными координатами x и y выражается формулами, известными из тригонометрии:

y=rsin, x=rcos - вычисление декартовых координат по полярным

- вычисление полярных координат по декартовым (одной формулы для определения угла недостаточно).

То есть, зная декартовы координаты точки, мы можем определить ее полярные координаты. И наоборот. Зная ее полярные координаты, можно определить декартовы координаты.

Пример

Чему равны полярные координаты точки М, имеющей декартовы координаты один и минус один?

Подставив значения декартовых координат в формулы, которые задают выражение полярных координат через декартовы, получаем, что:

Так как точка М находится в четвертой четверти, то =315 (рис. 7б)