Решение треугольников

Треугольник определен, если известны его стороны и углы (рис. 3в). Эти 6 параметров связаны друг с другом. Например, сумма углов треугольника, как известно, равна 180. Следовательно, по 2-м известным углам однозначно определяется третий угол. Вообще говоря, для определения треугольника требуется задание не 6-ти, а всего 3-х параметров. Три стороны полностью определяют треугольник - по 3-м сторонам его можно построить с помощью циркуля и линейки (не забываем, что сумма любых 2-х сторон должна быть больше третьей стороны). Три угла определяют форму треугольника с точностью до подобия. Для того чтобы задать размер треугольника, необходимо задать хотя бы одну его сторону. Т.е. для того, чтобы задать треугольник, надо задать 3 стороны, или сторону и 2 угла, или две стороны и угол. Отсюда равносторонний и прямоугольный равнобедренный треугольник полностью определяются одной своей стороной - задавая длину стороны равностороннего треугольника, мы задаем значение 3-х параметров - длины всех его сторон, указывая, что прямоугольник прямоугольный, мы задаем его угол (90), а условие "треугольник равнобедренный" означает, что если известна одна его сторона, то неизвестной является только одна, а не две стороны.

Для того чтобы по заданным 3-м параметрам решить произвольный треугольник, надо воспользоваться теоремой синусов или теоремой косинусов, которые определяют соотношение между длинами сторон треугольника и его углами с помощью формул:

a²=b²+c²-2bccos - теорема косинусов (квадрат стороны -ка равен сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними),

- теорема синусов (R - радиус описанной окружности)

В этих формулах углы α, β и γ – противолежащие для сторон a, b и c, соответственно.

В приложении приведена подробная таблица значений тригонометрических функций, необходимая при решении таких задач.

Примеры

1. Даны три стороны -ка. Найти его углы.

Углы находим по теореме косинусов.

2. Даны сторона и два угла -ка. Найти третий угол и остальные две стороны.

Так как сумма углов -ка равна 180, то третий угол вычисляется через заданные углы (сумма заданных углов должна быть меньше 180). Зная длину одной стороны -ка и величину всех трех углов, длины остальных сторон находим по теореме синусов. Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Площади плоских фигур

а) Площадь прямоугольника S со сторонами a и b: S=ab.

б) Площадь параллелограмма, имеющего основание а и высоту h: S=ah.

в) Площадь трапеции, имеющей основания а₁ и а₂ и высоту h: S=1/2(a₁+а₂)h.

г) Площадь треугольника, имеющего основание а и высоту h: S=1/2ah.

д) Площадь круга радиуса r: S=r² (длина окружности радиуса r: L=2r)

е) Площадь кругового сектора, образованного центральным углом α круга радиуса r,

Ф

е)

ормулы б), в), г) выводятся с помощью простейших построений, позволяющих получить из заданной фигуры прямоугольник (рис. 4). Для того чтобы получить площадь круга требуется осуществить предельный переход. Не проводя строгих рассуждений, покажем, как выводится формула для вычисления площади круга (или сектора). Разобьем круг (или сектор) на n одинаковых секторов со столь малым центральным углом, что можно считать, что площадь такого сектора лишь незначительно отличается от площади равнобедренного треугольника, боковые стороны которого совпадают с боковыми сторонами сектора, а основание равно хорде, стягивающей дугу, на которую он опирается. Высота этого треугольника лишь незначительно отличается от радиуса окружности, а длина хорды от длины дуги. Ошибка будет тем меньше, чем больше число n. Тем самым площадь маленького сектора при большом n практически равна 1/2rl, где через l мы обозначили длину дуги сектора, которая равна L/n (L- длина окружности или дуги, окаймляющей сектор). Суммарная площадь n секторов будет равна 1/2rL=r² (r²/2∙α_рад – для сектора, так как длина дуги, на которую опирается сектор, равна rα_рад ).

Египтяне вычисляли площадь круга по формуле: S=4(8/9)²R²=(16/9R)². Это приближение замечательно не только тем, что для  дает значение 3,16, но и тем, что представляет площадь круга в виде площади квадрата со стороной 16/9R. Площадь такого квадрата лишь на 0,5% отличается от площади круга.