Глава 8 Метод координат
До сих пор мы изучали свойства фигур, связанные только с их размерами и формой, и рассматривали простейшие преобразования фигур, состоящие в движении или растяжении. Мы занимались геометрией. Для того чтобы научиться описывать достаточно сложные геометрические объекты и строить изображение на плоскости некоторых пространственных объектов, очень помогает привлечение алгебраического аппарата. Алгебра и геометрия на самом деле очень близки. Установление связи между алгеброй и геометрией стало, по существу, революцией в математике.
Переводить геометрические образы на язык алгебры, то есть уравнений, позволяет метод координат, введенный основоположником аналитической геометрии французским математиком Рене Декартом, жившим в XVII веке.
Метод координат состоит в том, что в рассматриваемом пространстве определяется система координат и тогда положение любой точки М однозначно определяется заданием чисел – ее координат в этой системе координат. На плоскости – это пара чисел. В пространстве – тройка чисел. Система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами. Она позволяет создать геометрический образ уравнений и неравенств, и, наоборот, геометрические образы описать средствами систем уравнений и неравенств. Рассмотрим наиболее часто употребляющиеся системы координат.
Декартовы координаты
Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается следующим образом. Через точку О проводятся две взаимно-перпендикулярные прямые. Одна называется осью X, другая осью Y. Как на оси X, так и на оси Y задается масштаб – какой-либо отрезок принимается за единицу. Тогда для любой точки плоскости М определены ее декартовы координаты. Чтобы их найти, проведем через точку М прямую, параллельную оси Y. Расстояние от точки пересечения этой прямой с осью X до начала координат О есть первая координата точки М - х. Проведем через точку М прямую, параллельную оси X. Расстояние от точки пересечения этой прямой с осью Y до начала координат О есть вторая координата точки М - у. Число x называют абсциссой, а y - ординатой точки М (рис.1а).
И наоборот. Две координаты x и y определяют единственную точку плоскости. Чтобы ее найти, надо на оси x от точки О отложить величину x и провести через эту точку прямую, параллельную оси Y. На оси Y от точки О отложить величину y и провести через эту точку прямую, параллельную оси X. Точка пересечения этих прямых М имеет координаты x и y.
Легко видеть, что такой способ определения координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и парами чисел – координатами. В приведенной на рисунке 1 системе координат ось Y получается из оси Х поворотом против часовой стрелки. Такая система координат называется правой. В левой системе координат ось Y получается из оси Х поворотом по часовой стрелке. Если в правой системе координат точка имеет координаты (x,y), то в левой системе координат такие координаты будет иметь ее зеркальное отражение (рис.1а,б). Принято пользоваться правой системой координат. Понятие правого и левого направления может оказаться важным при изготовлении копий. Например, надо учитывать, что если на доску нанесен рисунок, отпечаток с него, полученный наложением, даст его зеркальное отражение.
При построении системы координат можно было бы взять оси, не ортогональные друг другу. Это не нарушило бы рассуждений об однозначном соответствии между точками и парами чисел, их координатами в такой системе. Ведь мы нигде не пользовались тем обстоятельством, что оси координат ортогональны друг другу. Такая система координат называется косоугольной (рис. 1в). Система координат, оси которой ортогональны друг другу, называется прямоугольной. Декартова система координат (прямоугольная, правая) является самой простой и часто используемой координатной системой.
Расстояние r между двумя точками M1(x1,y1) и M2(x2y2) (рис. 1г) в прямоугольной системе координат согласно теореме Пифагора равно:
