Многогранники

Многогранником называется тело, граница которого состоит из кусков плоскостей. Простейшими примерами многогранников являются, например, куб и параллелепипед.

Правильные многогранники

Если все грани многогранника - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы равны, то многогранник называется правильным. Уже Платону (IV в. до н.э.) было известно, что существует только 5 видов правильных многогранников.

Из шести спичек можно составить четыре треугольника. Для этого нужно из трех спичек составить треугольник, лежащий в основании пирамиды, а три другие сделать ее боковыми ребрами. В результате получится правильный четырехгранник (тетраэдр) – первое из платоновых тел (рис. 5а). Его модель можно изготовить из бумаги, вырезав развертку, показанную на рисунке 5б. Второе платоново тело – это куб (рис. 5в). Если соединить центры граней куба, то получится третье платоново тело - правильный восьмигранник, так называемый октаэдр (рис 6а). Октаэдр можно составить из восьми равносторонних треугольников. Его развертка приведена на рис 6б. Если соединить средние точки боковых граней октаэдра, то получится куб (рис. 5г). Следующее платоново тело – правильный двенадцатигранник, имеет пятиугольные грани. Его модель можно получить из его развертки, приведенной на рис 6в. Последнее правильное тело – двадцатигранник (рис. 6г). Его развертка состоит из двадцати равносторонних треугольников.

Правильные пирамиды

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань – основание пирамиды – произвольный многоугольник, а остальные – боковые грани – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник и высота падает в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани – это апофема правильной пирамиды. Правильная пирамида целиком определяется значением 2-х параметров. В качестве этой пары могут быть взяты длина ребра основания и высота, длина ребра основания и длина бокового ребра, длина ребра основания и апофема или угол наклона боковой грани. По 2-м заданным параметрам можно вычислить значения остальных параметров, используя только теорему Пифагора и тригонометрические таблицы.

Рассмотрим правильную пирамиду, у которой в основании лежит квадрат со стороной 2а, а боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной 2а. У такой пирамиды все ребра равны между собой. Такая пирамида является половиной октаэдра (полуоктаэдр). Тот, кто хочет сделать макет такой пирамиды, может нарисовать квадрат, с каждой стороны квадрата пририсовать равносторонние треугольники, вырезать эту фигуру из бумаги и свести вместе вершины треугольников.

Для того чтобы определить другие параметры пирамиды, воспользуемся тем, что мы знаем о равностороннем треугольнике (рис 7а) и равнобедренном прямоугольном треугольнике (рис. 7б).

Высота пирамиды является катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого равна 2а, а второй катет равен половине диагонали квадрата со стороной 2а, то есть равен (рис. 7в,г,д). По теореме Пифагора получаем, что , и, следовательно, диагональное сечение такой пирамиды – равнобедренный прямоугольный треугольник и угол наклона бокового ребра равен 45.

Таким образом, для того, чтобы сделать макет такой пирамиды, можно вырезать два одинаковых квадрата, стороны которых равны 2а. Один квадрат надо положить горизонтально, другой разрезать на две части по диагонали, одну из частей в свою очередь разрезать по высоте треугольника и поставить все куски вертикально на диагоналях лежащего квадрата. Правда, у этой пирамиды не будет боковых стенок, а только боковые ребра длины 2а.

Вычислим для нашей пирамиды угол наклона боковой грани.

Для этого проведем вертикальную плоскость через высоту пирамиды и среднюю линию основания. Сечение пирамиды этой плоскостью (среднее сечение пирамиды) – равнобедренный треугольник, основание которого равно 2а, а высота – высота пирамиды, равная . Боковые стороны этого треугольника являются высотами в треугольниках боковых граней (апофемы). Угол наклона боковой грани – это угол между апофемой и основанием. На рисунке 8а изображена сама пирамида и ее среднее сечение. На рисунке 8б ее боковая грань. На рисунке 8в – сечение пирамиды по средней линии. Угол наклона боковой грани – это угол при основании этого равнобедренного треугольника. Тангенс этого угла равен . По таблицам тангенса (см. Приложение Таблица тригонометрических функций) находим, что такой тангенс имеет угол, значение которого равно примерно 54,5. Боковая сторона этого треугольника, то есть апофема, равна по теореме Пифагора .

Если основание пирамиды квадрат, сторона которого равна 2а, а боковые ребра равны b, то согласно теореме Пифагора высота пирамиды , а апофема .

Если длина квадрата основания пирамиды равно 2а, а высота равна h, то апофема .