Средние значения двух величин

Средним арифметическим двух величин a и b называется значение:

Средним геометрическим (средним пропорциональным) двух положительных величин a и b называется величина . Величины a, x и b образуют геометрическую прогрессию, у которой b₁=a, . На рисунке 7а показано, как по величинам а и b (отрезки АВ и ВС) построить величину х. Заметим, что если а=1, b=N, то х=

Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)

Деление отрезка длины а на две части х и а-х называется делением в среднем и крайнем отношении, или золотым сечением, если х является средним геометрическим между а и а-х. На рисунке 7б показано, как с помощью циркуля и линейки по величине а построить х.

Для "золотого" разбиения отрезка длины а на части длины х и а-х выполняется соотношение , которое можно записать в виде квадратного уравнения:

х²=а²-ах

Из уравнения видно, что х и а связаны пропорциональным соотношением, т.е. искать надо отношение х и а или а к х.

Введем обозначение , поделим обе части равенства на а² и получим уравнение:

k²=1-k или k²+k-1=0.

Решим это уравнение.

Напомним формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0, →

x²+px+q=0, →

Корни являются действительными числами, только если подкоренное выражение (дискриминант уравнения) в указанных формулах неотрицательно.

Согласно приведенной формуле решения квадратного уравнения:

Из этих 2-х корней нам подходит только один - положительный. Т. е.:

На рис. 7б: АС=а, АB= , AD=x=AB-BD=

Если ввести обозначение и поделить обе части равенства на х², то получим уравнение:

1=K²-K или K²-K-1=0.

Из 2-х корней только один положительный. Таким образом:

Введем традиционные обозначения: . Такое обозначение связано с именем Фидия (на букву  начинается его имя). Фидий принимал участие в создании Парфенона, в частности украсил Парфенон своими великолепными скульптурами, и фигуры его скульптур имеют золотые пропорции.

Ботичелли, «Рождение Венеры», Поликлет, статуя «Дорифор»

золотые пропорции Венеры

Заметим, что  и  в силу определения связаны соотношением , или =1, (это легко проверить: ). Для этих значений выполняется:

Ф²-Ф-1=0, или Ф²=1+Ф, аналогично, φ²+φ-1=0, или ²=1-

Прямоугольник, отношение сторон которого выражается пропорцией Ф:1=1: называется "золотым". На рис.7б показано, как по большой стороне “золотого” прямоугольника, найти его малую сторону. На рис. 7в – как по его малой стороне найти большую - EF= , BF=BE+EF=

Стороны такого прямоугольника несоизмеримы в силу иррациональности числа . На клетчатой бумаге величину без циркуля можно построить только приближенно (мы это уже обсуждали при рассмотрении числа ).

Последовательность Фибоначчи и золотое сечение

В силу того, что Ф= не является рациональным числом, его нельзя представить в виде отношения p/q двух целых чисел p и q и мы его представим в виде непрерывной дроби Ф= .

Докажем правильность такого представления. Обозначим эту дробь через х. Тогда для х выполняется соотношение . Умножив обе части равенства на х, получаем знакомое нам соотношение х²=х+1, Которое выполняется только для х= . Обрывая вычисление значения непрерывной дроби перед первым, вторым, третьим и т.д. знаком плюс, получаем последовательность простых дробей: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13,…. Обозначим через n порядковый номер дроби в последовательности. По мере роста n дроби задают все более точные приближения золотого числа 1,618…. То есть построенные на клетчатой бумаге прямоугольники со сторонами 8 и 5, 13 и 8, 21 и 13, по мере роста n все более точно передают пропорции золотого прямоугольника. Как числители, так и знаменатели дробей образуют последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ..., называемых числами Фибоначчи. Каждое из чисел в этой последовательности, начиная с третьего, получается сложением двух предыдущих чисел: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8,… Обозначим члены последовательности следующим образом: u₁, u₂, u₃,…,u_n,…. Тогда u₁=1, u₂=1, а для n>2 верна формула u_n=u_n-1+u_n-2. Эта последовательность в том числе является решением задачи "о кроликах", сформулированной Леонардо Пизанским (Фибоначчи - 1180-1240 г.г.). Этот итальянский математик, начальное образование получил в Алжире, где его наставниками были арабы, от которых он узнал о существовании индийской ("арабской") десятичной системы с ее позиционными обозначениями и нулем (в то время была распространена гораздо менее удобная римская система, в которой, в частности, нуль отсутствовал). По его книге, работу над которой он закончил в 1202 г., европейцы ознакомились с индийской десятичной системой. Задача, которую он изложил в своем труде, следующая. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство эти кролики дают со второго месяца своего рождения. Тогда количество пар кроликов в конце каждого из месяцев образует последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…, u_n,…, а n-ый член последовательности вычисляется по формуле u_n=u_n-1+u_n-2. В XIX веке в честь математика, в трудах которого эта последовательность впервые была описана, она была названа именем Фибоначчи. Подобному закону, наверное, подчиняются многие процессы роста и образования новых форм в природе - появление на стволе новых отростков, слоев семечек в подсолнухе и т.д. Головка подсолнуха как бы соткана из логарифмических спиралей, образующих два семейства: к одному относятся спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, к другому – против часовой стрелки. Число спиралей в семействах различно и приближенно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи (наверное, закон появления слоя семечек сходен с законом размножения кроликов). У подсолнуха средних размеров корзинка обычно содержит 34 спирали одного и 55 другого типа. В корзинке одного гигантского подсолнуха насчитали 144 правых и 233 левых спирали.