Глава 10 Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка Гипербола

Построим график гиперболы (или ху=k) с помощью растяжения вдоль оси Y графика гиперболы , затем повернем оси координат на 45 (рис.1). При замене координат уравнение ху=k обратится в уравнение (u-v)(u+v)=2k или u²-v²=2k. Вернемся к привычным для абсциссы и ординаты обозначениям: х²-у²=2k. Таким образом, кривая х²-у²=2k – это повернутая на 45 гипербола . Гипербола, в уравнении которой при переменных х и у коэффициенты одинаковые, называется равнобочной.

В общем случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: . Такое уравнение получается из уравнения или , если выполнить сжатие вдоль оси Y к оси Х с коэффициентом a/b. Гипербола определяется, как геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Изобразить гиперболу на плоскости можно так: построим характеристический прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами длины 2а и 2b. Прямые, проходящие через диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. С ростом x и y гипербола стремится приблизиться к асимптотам, но никогда их не пересекает. Гипербола пересекает ось X в точках, которые находятся на расстоянии а от начала координат. Эти точки называются вершинами гиперболы (точки А и В).

Уравнения асимптот: .

Прямая, на которой лежат фокусы, называется вещественной осью. Число а называют вещественной полуосью, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Фокусами гиперболы служат точки F₁ и F₂ с координатами (-c,0) и (c,0), соответственно. Фокусное расстояние c вычисляется по значениям полуосей гиперболы по формуле:

Отношение , оно называется эксцентриситетом гиперболы.

На рисунке 2б показано построение опорных точек М₁ и М₂ гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусам F₁ и F₂ гиперболы. Правило построения: R₂-R₁=2a.

Парабола

Параболой, называется линия, уравнение которой у=ах² (это уравнение параболы называется каноническим). Она изображена на рисунке 3а.

Парабола определяется, как геометрическое место точек, для которых расстояния до фиксированной точки F плоскости, называемой фокусом параболы и прямой d, называемой директрисой, равны друг другу. Если выбрать систему координат так, чтобы вершина параболы попала в начало координат О, а директриса была параллельна оси Х, то фокус F будет лежать на оси Y.

Если расстояние от точки F до прямой d обозначить через р, то расстояние от фокуса до вершины равно р/2 и уравнение параболы будет иметь вид: . Построение опорных точек параболы, если заданы ее фокус и директриса показаны на рисунке 3б. В основу построения положено равенство расстояний от точек параболы до фокуса и директрисы.

На рисунке 3в приведен способ построения параболы по вершине О и точке М.

К амень, брошенный не строго вертикально, летит по параболе. То же можно сказать и об орудийном снаряде. Форму параболы имеют струи фонтана. Для построения эскиза этих парабол можно воспользоваться методами, предложенными на рисунке 3. Траектории всех снарядов, имеющих одинаковое значение, но разное направление начальной скорости, имеют общую огибающую, которая также имеет форму параболы. Это так называемая парабола безопасности. Аналогично струи фонтана имеют огибающую "безопасности" (если вы будете стоять вне ее пределов, то Парабола Безопасности никакая струя до вас не долетит).

Фокус параболы безопасности совпадает с общей точкой всех парабол (конец орудийного ствола). Она касается общей директрисы всех траекторий.

Если изогнуть узкую полоску металла по дуге параболы, то лучи точечного источника света, помещенного в фокусе, отразившись от полоски, пойдут параллельно оси (рис. 3г). Обратно, если на эту полоску будет падать пучок лучей, параллельный оси параболы, то после отражения лучи соберутся в ее фокусе (слово focus в переводе с латинского означает "огонь"). На этом основано свойство параболических зеркал в автомобильных фарах и прожекторах и устройство телескопов. Зеркала прожекторов и телескопов шлифуются по параболоиду, получающемуся от вращения параболы.