Арифметические прогрессии

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии. Члены арифметической прогрессии мы будем обозначать через а₁,а₂,…,а_n,…, разность прогрессии – через d. Таким образом:

а₁,

а₂=а₁+d,

a₃=a₂+d=a₁+d+d=a₁+2d,

a₄=a₃+d=a₁+2d+d=a₁+3d,

……….

Примеры

1. Последовательность чисел 1, 2, 3, 4,…(эта последовательность называется натуральным рядом) – арифметическая прогрессия с разностью d=1 и начальным членом а₁=1.

2. Последовательность чисел 0, -1, -2, -3, -4,… – арифметическая прогрессия с разностью d=-1 и начальным членом а₁=0

3. Последовательность чисел 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4,… – арифметическая прогрессия с разностью d=-2 и начальным членом а₁=10.

Покажем, что член арифметической прогрессии с номером n можно вычислить по формуле: а_n=а₁+d(n-1)

Докажем эту формулу методом математической индукции.

а) а₁=а₁+0=а₁, следовательно, для n=1 формула верна;

б) пусть для натурального значения k выполняется: a_k=a₁+(k-1)d. Покажем, что из этого следует, что формула верна и для следующего натурального числа k+1. Воспользуемся тем, что:

a_k+1=a_k+d по определению арифметической прогрессии и

a_k=a₁+(k-1)d согласно б).

Следовательно, a_k+1=a_k+d=а₁+(k-1)d+d=a₁+kd и формула верна для всех натуральных n.

Тем самым, для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать значения ее первого члена а₁ и ее разности d.

Примеры решения задач

1.Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние будет пройдено за 5-ую секунду?

Решение:

Пути, проходимые за 1-ю, 2-ю, 3-ю и т.д. секунды образуют арифметическую прогрессию, у которой а₁=4,9, d=9,8. Следовательно, а₅=4,9м+49,8м=44,1м.

2. Курс воздушных ванн врачи рекомендуют начинать с 15 мин. в первый день, а затем увеличивать время этой процедуры каждый следующий день на 10 мин. Через сколько дней будет достигнута нужная продолжительность в 1час 45мин.?

Решение:

Последовательность значений длительности процедуры в первый, второй и т.д. день представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом а₁=15мин. и разностью d=10мин. Таким образом, надо найти номер n члена прогрессии, для которого a_n=1час45мин=105мин, т.е. надо найти n из уравнения:

a_n=a₁+d(n-1)=105. Подставив в формулу а₁=15 и d=10 и решив уравнение, получим:

15+10(n-1)=105, или n=10 дней

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Доказательство того, что эта формула верна при всех n, проведем методом математической индукции.

а)S₁=a₁, следовательно, для n=1 формула верна;

б)Покажем, что если формула верна для значения k, то она верна и для следующего натурального числа k+1. Имеем:

. Следовательно, формула верна для всех n.

Примеры решения задач

1.Сумма первых n членов натурального ряда: 1+2+3+…+n= (натуральный ряд – арифметическая прогрессия у которой а₁=1, d=1).

2.Сумма первых n членов ряда нечетных чисел: 1+3+…+(2n-1)=n², так как последовательность нечетных чисел - арифметическая прогрессия, у которой а₁=1, d=2.

3.Рабочему поручили вырыть колодец и условились платить ему за первый метр глубины 100 руб., за второй – 300 руб. и т.д., увеличивая плату за каждый следующий метр на 200 рублей. Сколько надо заплатить рабочему, если он вырыл колодец на глубину 10 м?

Решение:

Числа 100, 300, 500… (плата за 1-ый, 2-й, 3-й метр глубины) образуют арифметическую прогрессию, у которой а₁=100, d=200. Плата за весь колодец – сумма ее первых 10 членов. Подставляем в формулу наши данные:

S₁₀=0,5(2100+9200)10=10000

4.При хранении бревен их уложили так: положили на землю 12 бревен, на них сверху в пазы нижнего ряда 11 бревен и т.д. до тех пор, пока пирамида не закончится одним бревном (см. рисунок 1). Сколько бревен в такой кладке? Сколько бревен в кладке, начинающейся с 8 бревен?

Р ешение:

Числа 12,11, 10, ,1 - количество бревен на 1-м,2-м,3-м,…,12-м уровне, образуют арифметическую прогрессию, для которой а₁=12, a₁₂=1. Для того, чтобы найти сумму S₁₂, воспользуемся формулой: S_n=(а_n+a₁)n/2

S₁₂=6(12+1)=78;

Аналогично, если кладка начинается с 8 бревен, то n=8, S₈=4(8+1)=36.