Глава 9 Функции и графики Понятие функции

Пусть Е есть множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено в соответствие одно число у. Тогда говорят, что на Е задана функция, которую записывают так: y=f(x).

Это определение функции предложено Лобачевским и Дирихле (XIX век). Множество Е называется областью задания или областью определения функции f(x), х называют независимой переменной.

Функция может быть задана и в неявном виде уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно у. Например, уравнение х²+у²=R², которое можно переписать в форме х²+у²-R²=0, задает неявную функцию у (уравнение y=f(x) задает функцию в явном виде).

Если функция задается только с помощью аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают совокупность всех тех значений аргумента, для которых это выражение имеет смысл. Например, для функции y=sinx областью определения является вся числовая прямая, а для функции вся числовая прямая, из которой выколота точка х=-5, а для функции - отрезок -2х2 и т.д.

Некоторые важные свойства функций имеют специальные наименования.

1. Четные и нечетные функции.

Функция y=f(x) называется четной, если f(-x)=f(x) для всех х из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Примеры

y=x²(рис. 1а) - четная функция, так как (-x)²=x². Вообще, четными являются функции y=x²ⁿ при любом натуральном n (то есть степенные функции с четной степенью). y=cosx – четная функция, так как cos(-x)=cosx

Функция y=f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x) для всех х из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры

y=x³(рис. 1б) – нечетная функция, так как (-x)³=-x³. Нечетными являются функции y=x^2n-1 при любом натуральном n (то есть степенные функции с нечетной степенью). y=sinx – нечетная функция, так как sin(-x)=-sinx.

2. Периодические функции.

Функция y=f(x) называется периодической, если существует число Т0 такое, что f(xT)=f(x) в области определения функции (рис. 1в). Наименьшее из таких положительных чисел Т называется периодом.

Примеры

y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx – периодические функции. Период первых двух функций равен 2, вторых двух - .

График периодической функции достаточно построить на отрезке длины Т, далее построенный кусок кривой надо сдвигать вдоль оси Х на величину периода.

3. Монотонные функции.

Если функция y=f(x), определенная на интервале, является только возрастающей (большему значению аргумента х в этом интервале соответствует большее значение функции) или только убывающей на этом интервале (большему значению аргумента х в этом интервале соответствует меньшее значение функции), то она называется монотонной на интервале (рис. 1г).

На рисунке 1 приведены графики функций и отмечены их свойства.

Примеры решения задач.

1. Для функции, значение которой при x0 вычисляется по формуле y=2x-2 для х1 и у=0 для х>1, построить симметрию относительно оси OY (функцию, заданную для x0, доопределить для х<0 из соображений четности - решение на рисунке 2).

2. Для функции, значение которой при x>0 вычисляется по формуле y=1/3x+1 для 0<x<3, y=3 для x3 (рис. 3), построить симметрию относительно начала координат (доопределить функцию для х<0 из соображений нечетности).

3. Известно, что функция является периодической. По графику, заданному для одного периода (рис. 4а) построить график функции на всей прямой (рис. 4б)