Конические сечения

Н а примере стакана с водой мы видели, как просто получить эллипс. Вообще, если прямой цилиндр разрезать наискось так, чтобы не затронуть при этом оснований, то в разрезе получится эллипс. И если такую операцию проделать с конусом, то тоже получится эллипс.

Если рассечь конус плоскостью так, чтобы разрез проходил через основание конуса, можно получить в сечении дугу параболы или дугу гиперболы. Окружность можно получить, рассекая круговой цилиндр или круговой конус горизонтальной плоскостью. Таким образом, все кривые – и эллипс, и гипербола, и парабола являются коническими сечениями. Пересечение плоскостью двустороннего конуса, простирающегося в бесконечность, дает бесконечную параболу и бесконечную гиперболу (рис. 15).

На чертеже хорошо видно, как меняется сечение с изменением угла наклона секущей плоскости. Когда плоскость горизонтальна – это окружность. Начинаем вращать плоскость - окружность обращается во все более вытянутый эллипс. То есть эксцентриситет растет, и из нулевого становится все больше похожим на единицу. Когда плоскость становится параллельной касательной плоскости конуса, второй фокус эллипса улетает в бесконечность и эллипс обращается в параболу, эсцентриситет которой равен 1. Продолжаем плавно изменять угол наклона секущей плоскости. Она начинает рассекать еще и верхнюю часть конуса. Кривая обращается в гиперболу с двумя ветвями. Горизонтальная плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает конус по точке. Если пересечь конус вертикальной плоскостью, проходящей через вершину конуса, получатся две пересекающиеся прямые. Одна прямая получится, если секущая плоскость проходит через образующую (ребро) конуса. Две параллельные – если рассечь вертикальной плоскостью бесконечный цилиндр. Цилиндр можно представить себе, как конус с бесконечно удаленной вершиной. Коническим сечением станут параллельные прямые. Все рассуждения сохраняются и для не прямого (наклонного) кругового конуса.

Вследствие всего сказанного эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями (кониками), хотя, как мы видели, набор конических сечений много богаче.

Кривые второго порядка

Общее уравнение второго порядка относительно х и у содержит члены второй степени – х², ху, у², первой степени – х, у и нулевой степени (свободный член), а значит имеет вид:

Aх²+Bxy+Cу²+Dx+Ey+F=0.

Здесь хотя бы один коэффициент А, В, С должен быть отличен от нуля. Представленное уравнение является уравнением второй степени, а линии, уравнения которых описываются таким уравнением, называются кривыми второго порядка.

В аналитической геометрии доказывается, что уравнение второй степени самого общего вида задает или эллипс, или гиперболу, или параболу, или пару прямых, или одну точку, или вообще задает пустое множество, то есть является уравнением конического сечения. Доказательства проводятся средствами линейной алгебры.

Кривые второго порядка отвечают высоким эстетическим требованиям. Их часто применяют как в технических формах, так и в архитектуре. Например, кривая контура части монумента Покорителям Космоса в Москве была прорисована архитекторами "от руки", затем для инженерных расчетов с помощью ЭВМ было найдено уравнение чертежа: 0,314х²-21,287xy-y²+230,259x+289,982y-6528,191=0 (мы оставили только 3 знака после запятой).