Объемы фигур

а) Объем V куба со стороной а: V=a³

б) Объем V параллелепипеда со сторонами a, b, c: V=abc.

в) Объем V цилиндра с основанием S и высотой h: V=Sh

г) Объем V пирамиды или конуса с основанием S и высотой h: V=1/3Sh.

д) Объем V шара радиуса r: V=4/3r³.

е) Объем V усеченных пирамиды или конуса: V=h/3(r₁²+r₁r₃+r₃²)

Существует универсальная формула для вычисления объема призм, пирамид и конусов, полных и усеченных, и даже для шара: V=h/6(b₁+4b₂+b₃), где h – высота тела, b₁ – площадь нижнего основания, b₂ – площадь среднего сечения (посередине его высоты), b₃ – площадь верхнего основания (рис. 9е).

Основание конуса и цилиндра может иметь любую форму – это может быть квадрат, параллелограмм, многоугольник, круг – важна только его площадь. Полезно помнить, что если конус (или пирамида) пересечен плоскостью, параллельной основанию, отношение площадей оснований равно квадрату отношения высот.

Это совсем просто доказать для пирамиды, когда основание – прямоугольник.

На плоскости отношение параллельных оснований треугольника согласно теореме о пересечении угла параллельными прямыми равно отношению высот, следовательно, стороны основания увеличатся во столько раз, во сколько увеличится высота. Например, отношение высот пирамид равно . Тем самым площадь, которая является произведением 2-х сторон, увеличится в ² раз. Отношение объемов подобных фигур, равных (или пропорциональных) произведению основания на высоту, тем самым, равно кубу отношения высот (³) (рис.10).

Примеры решения задач

1.Стена должна быть раскрашена по трафаретам (рис. 11): а) фон – белый, расстояние между полосами втрое шире полосы, полосы чередуются – одна зеленая, одна – розовая; б) фон серый, узоры голубые; в) фон белый, круги - зеленые. В какой пропорции нужно взять краску?

Решение:

а) На 1 кг зеленой краски должен приходиться 1 кг розовой и 6 кг белой (постоянно повторяющийся орнамент – зеленая полоса, тройная белая, розовая полоса и еще одна тройная белая).

б) Узор состоит из 2-х параллелограммов, площадь каждого из которых равна 1/21/2=1/4 (если расстояние между линиями сетки единица). Следовательно, в занятых ячейках половина серой и половина голубой краски, каждая вторая ячейка целиком серая, следовательно, на 3 части серой краски приходится 1 часть голубой.

в) На этом трафарете, как мы уже говорили в предыдущей главе, изображена укладка кругов, которая называется наиболее плотной.

Для того чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, заметим, что вся плоскость (влияние краев рассматривать не будем) покрыта равносторонними треугольниками со стороной 2r, где r - радиус круга. Площадь такого треугольника S равна:



Эта площадь делится на две части - 3 сектора круга с углом 60 каждый, что в совокупности составляет половину круга радиуса r, – эта площадь закрашивается зеленой краской. Оставшаяся часть закрашивается белым. Зеленая часть составляет от общей площади

Никакое другое расположение кругов не позволяет добиться лучшего заполнения плоскости кругами, то есть круги никогда не будут занимать больше, чем 90,8% площади.

Таким образом, зеленая краска должна составлять примерно 91%, а белая – немного больше, чем 9% от всей краски. Тем самым зеленой надо взять в 0,908:0,092=9,87 раз больше, чем белой.

2. Во сколько раз больше уместится воды в кубический аквариум, чем в цилиндрический той же высоты и шаровой, если его ребро равно диаметру d цилидрического и шарового аквариума?

Решение:

Объем кубического аквариума V₁=d³, объем цилиндрического аквариума V₂=d(d/2)²=d³/4, а объем шарового аквариума V₃=1/6d³. Следовательно, V₁:V₂=4/1,27 и V₁:V₃=6/1,91 – почти вдвое.

3. В две одинаковые рюмки, имеющие форму конуса, налили вино. Одну наполнили до краев, вторую - до половины высоты. Во сколько раз в первой рюмке больше вина?

Решение:

По формуле объема конуса:

4. Одна рюмка имеет форму цилиндра, другая – конуса. Они имеют одинаковую высоту и одинаковый диаметр верхнего края. Во сколько раз больше вина вмещает цилиндрическая рюмка?

Ответ вытекает из формулы объема цилиндра и конуса с одинаковой высотой h и одинаковой площадью основания S. В цилиндрическую рюмку уместится вина в 3 раза больше.