9.14. Диффузия из бесконечного источника Диффузия из бесконечного источника описывается уравне­нием:

(9.17)

где N(x, t) - концентрация примеси на расстоянии х от поверхности; N₀ - концентрация примеси на поверхности подложки; D - коэффици­ент диффузии примеси при температуре диффузии; t - продолжи­тельность диффузии; erfc(z) - дополнительная функция ошибок.

Начальные условия: N(x, 0) = 0. Граничные условия: N(0, t) = N₀, N(х>>0, t)=0.

Металлургическим переходом называется глубина, на кото­рой концентрация диффузионной примеси N(xj) равняется кон­центрации исходной примеси на поверхности подложки N(xj) = N_b.

Если тип легирующей примеси противоположен типу cме-си подложки, то концентрацию легирующих элементов N(х)= |N_D(x)-N_b| в области p-n-перехода можно определить с по­мощью дополнительной функции ошибок. Зависимость концен­трации легирующей примеси от параметра z = x/2(Dt)^1/2 приве­дена на рис. 9.11.

9.15. Диффузия из ограниченного источника

Диффузия из ограниченного источника описывается уровне-кием Гаусса:

(9.18)

Начальные условия: N(х, 0)=0.

Граничные условия: Q₀ - число атомов легирующего веще­ства, осажденного на единицу площади полупроводника, равно интегралу от N(х, t) по всей глубине полупроводника и N(x, t >> 0)=0.

При х = 0 концентрация легирующей примеси на поверхно­сти будет равна:

(9.19)

Количество диффузанта, необходимого для осуществления диффузии на определенную глубину полупроводника заданного количества примеси, изменяющейся пропорционально ехр(-z²),

где z = (х⁄2√Dt), очень мало. Такое количество примеси можно

ввести ионным легированием или предварительным проведе­нием диффузии (преддиффузии) при низкой температуре в тече­ние короткого времени. При этом на поверхности сформируется источник с необходимым малым содержанием примеси Q₀:

(9.20)

где Q₀ - количество примеси, образованное в течение преддиффузии; N₀₁ - поверхностная концентрация при температуре преддиффузии; D₁ - коэффициент диффузии при температуре преддиффузии; t₁ -продолжительность преддиффузии.

Общее уравнение, позволяющее определить концентрацию примеси в полупроводнике, записывается в следующем виде:

(9.21)

где индексы 1 относятся к разгонке примеси из источника сформиро­ванного на преддиффузии, а индексы 2 — к самому процессу диффузии.

Уравнение (9.21) справедливо для случая, когда выполняет­ся следующее условие:

(9.22)

9.16. Концентрационно-зависимые коэффициенты диффузии

Для определения концентрационной зависимости коэффи­циента диффузии рассмотрим второй закон Фика. с_в = const. Если D есть функция только с и c_s = const, то уравнение может быть записано в виде простого дифференциального уравнения с

т.е. D и с зависят явным обра-

новой переменной А, где

зом только от х.

После замены переменной получаем:

(9.23)

Это соотношение позволяет получить графическое отображе­ние измеренного профиля концентрации как зависимость кон­центрации с от значения η. Для этого выбирается начало отсче­та, затем проводится поверхностное численное интегрирование:

(9.24)