1.10. Пример решения первой задачи динамики точки в естественных координатных осях

Условие задачи.

Материальная точка массой m = 1,2 кг движется по окружности радиуса r = 1 м на гладкой горизонтальной поверхности согласно уравнению S = 2,4·t² (рис. 1.7). Заданы начальные условия движения: S₀ = 0; V₀ = 0. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке в момент времени t₁ = 1 c.

Решение.

1. На рис. 1.7 изобразим материальную точку в произвольный момент времени.

2. В эту точку поместим начало координат ПСО.

3. Орт τ направлен в сторону возрастания дуговой координаты S, а орт n направлен к центру кривизны траектории движения. Этим центром является центр окружности. Радиус ρ кривизны траектории движения точки равен радиусу окружности ρ = r.

4. Покажем на рис. 1.7 начальные условия движения. По условиям задачи S₀ = 0; V₀=0.

5. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы G и F₁ и реакция N гладкой поверхности. Поскольку рис. 1.7 изображен в ортогональных проекциях, то силы G и N перпендикулярны опорной поверхности точки и, следовательно, на рисунке не видны. Основное уравнение динамики для решаемой задачи имеет вид

m·a = ΣF_i^E + ΣR_i^E = G + F₁+ N.

Рис. 1.7

6. Запишем дифференциальные уравнения движения точки в естественных координатных осях.

m· = Σ + Σ = F₁·sin(α); (1)

m· /ρ = Σ + Σ = F₁·cos(α); (2)

Σ + Σ = 0 = – G + N. (3)

Из уравнения (3) имеем N = G = m·g = 1,2·9,81 = 11,772 H.

7. По заданному уравнению S = 2,4·t² определим проекцию скорости V и проекцию ускорения точки на касательную.

= 4,8·t; = 4,8 м/с².

8. Найденные проекции , подставим в уравнения (1), (2). Получим:

m·(4,8) = F₁·sin(α); (1^I)

m·(4,8·t)²/r = F₁·cos(α). (2^I)

9. Согласно уравнениям (1^I), (2^I) имеем:

P_oτ = F₁·sin(α); P_on = F₁·cos(α),

где P_oτ, P_on – проекции равнодействующей Р = G + F₁ + N активных сил и реакций внешних связей, приложенных к точке, на координатные оси ПСО. Тогда:

P_oτ = m·(4,8); (1^II)

P_on = m·(4,8·t)/r. (2^II)

Определим значения P _oτ и P_on в момент времени t₁.

P_oτ(t₁) = 1,2·4,8 = 5,76 H;

P_on(t₁) = m·(4,8·t₁) = 1,2·4,8·1 = 5,76 H.

10. Определим модуль Р равнодействующей в момент времени t₁.

=

= = 8,145 Н.

11. Для ориентации вектора Р в пространстве определим направляющие косинусы и величину угла α, составленного направлением равнодействующей силы Р и ортом τ.

cos(P(t₁), τ) = P_oτ(t₁)/P(t₁) = 5,76/8,145 = 0,707.

α = arcos(0,707) = 45^o.

12. Определим положение точки на траектории её движения в момент времени t₁ и зафиксируем это положение центральным углом β.

S(t₁) = 2,4·(t₁)² = 2,4·1² = 2,4 м;

β = S(t₁)/r = 2,4/1 = 2,4 рад.

В градусной мере β = (2,4/3,14)·180^о = 137,579^о.

Полученные результаты расчётов проиллюстрируем рис. 1.8.

Рис. 1.8

Таким образом, задача решена. Ответы на вопросы получены.