6.4.3. Пример выполнения курсового задания д 8

Д

Рис. 6.26

ля заданной механической системы (рис. 6.26) определить ускорение груза 1 при его опускании.

Дано: G₁ = 8G; G₂ = 4G; G₃ = 2G; P = G; f₃ = 0,1; i_C2X2 = 0,1 м; f₄ = 0,1; α = 30^o; b = 0,5 м; d = 0,4 м; r₂ = 0,2 м; R₂ = 0,5 м, где G₁, G₂, G₃ – вес соответствующих тел механической системы; f₃ – коэффициент трения скольжения тела 3 при его движении по шероховатой поверхности; f₄ – коэффициент трения скольжения между телами 2 и 4; i_C2X2 – радиус инерции тела 2 относительно оси, проходящей через его центр масс; α, b, d, r₂, R₂ – геометрические параметры. Механическая система начинает движение из состояния покоя.

Решение.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3 (рис. 6.27), предположив, что груз 1 опускается ускоренно.

Согласно общему уравнению динамики механическая система совершает движение под действием активных сил: G₁, G₂, G₃ – силы тяжести тел 1, 2, 3; F₃ – сила трения при движении груза 3 по шероховатой поверхности; F_4-2 – сила трения при скольжении цилиндрической поверхности тела 2 по тормозной колодке тела 4 и инерционных нагрузок: Ф₁, Ф₃ – силы инерции тел 1, 3; – момент сил инерции при вращении тела 2 относительно оси С₂Х₂.

К

Рис. 6.27

ак это отмечалось ранее, при наличии неидеальных связей, наложенных на механическую систему, эти связи необходимо преобразовать в идеальные путём переноса сил трения в разряд активных сил.

Для определения силы трения F_4-2 механическую систему, показанную на рис. 6.26, расчленим по внутренней связи и рассмотрим равновесие рычага 4 (рис. 6.28).

Рис. 6.28

На тело 4 действуют: активная сила Р; реакции Y_A, Z_A внешней связи в точке А (шарнирно-неподвижная опора); реакции N_2-4, F_2-4 внутренней связи. Направления сил N_2-4, F_2-4 показывают, как тело 2 действует на тело 4. Составим уравнение равновесия.

ΣM_A( ) + ΣM_A( ) = N_2-4·b – P·(b + d) = 0.

Из этого уравнения определим модуль нормальной реакции

N_2-4 = P·(b + d)/b = G·(b + d)/b.

Согласно закону сухого трения (закону Кулона) сила трения F_2-4 связана с нормальной реакцией N_2-4 соотношением

F_2-4 = f₄·N_2-4 = f₄·G·(b + d)/b.

По известному закону динамики (закон равенства действия и противодействия) имеем

F_4-2 = F_2-4 = f₄·G·d/b.

Таким образом, сила F_4-2 трения, приложенная к телу 2 со стороны тела 4 (см. рис. 6.27), определена.

Д

Рис. 6.29

ля определения силы F₃ трения рассмотрим поступательное движение груза 3 (рис. 6.29) в инерциальной системе отсчёта O₃Y₃X₃. Используя известные положения динамики, примем груз 3 за материальную точку.

На рис. 6.29 использованы условные обозначения: N₃ – нормальная реакция шероховатой поверхности; V_С3, a_С3 – соответственно скорость и ускорение центра масс тела 3.

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения тела 3.

m· = – G₃·cos(α) + N₃,

где – проекция ускорения a_С3 на координатную ось O₃Y₃.

Так как = 0, то получим

N₃ = G₃·cos(α).

Тогда имеем

F₃ = f₃·N₃ = f₃·G₃·cos(α) = f₃·2·G·cos(α).

Таким образом, сила трения F₃ определена.

Вернёмся к рис. 6.27. Зададим возможное перемещение δS_С1 центру масс тела 1. При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ₂ = δS_С1/R₂, а центр С₃ масс тела 3 получит возможное линейное перемещение, модуль которого δS_С3 = δS_С1·(r₂/R₂). Двойным дифференцированием по времени возможных перемещений δφ₂, δS_С3 определим угловое ускорение тела 2 и модуль a_С3 ускорения центра масс тела 3.

= a_С1/R₂; a_С3 = a_С1·(r₂/R₂).

К рассматриваемой механической системе приложим активные силы G₁, G₂, G₃, F₃, F_4-2 и инерционные нагрузки Ф₁, Ф₂, .

Модули сил инерции Ф₁, Ф₃ и момента сил инерции определяют по формулам:

Ф₁ = m₁·a_С1 = (G₁/g)·a_С1 = (8·G/g)·a_С1;

Ф₃ = m₁ ·a_С3 = (G₃/g)·a_С3 = (2·G/g)·a_С1·(r₂/R₂);

= J_С2Х2· = m₂·(i_С2Х2)²· = (G₂/g)·(i_С2Х2)²· =

= (4·G/g)·(i_С2Х2)²·(a_С1/R₂).

Запишем общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы:

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) + ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Сi) = 0.

Определим первое слагаемое правой части этого уравнения.

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) =

= G₁·δS_С1 – F_4-2·δS_С1 – G₃·δS_С3·sin(α) – F₃·δS_С3 =

= 8·G·δS_С1 – f₄·G·((b + d)/b)·δS_С1 – 2·G·δS_С1·(r₂/R₂)·sin(α) –

– f₃·2·G·cos(α)·δS_С1·(r₂/R₂) =

= G·(8 – f₄·((b + d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·G·cos(α)·(r₂/R₂))·δS_С1.

Определим второе слагаемое правой части общего уравнения динамики:

ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Ci) = – Ф₁·δS_С1 – ·δφ₂ – Ф₃·δS_С3 =

= – (8·G/g)·a_С1·δS_С1 – (4·G/g)·(i_С2Х2)²·(a_С1/R₂)·(δS_С1/R₂) –

– (2·G/g)·a_С1·(r₂/R₂)·δS_С1·(r₂/R₂) =

= – (G/g)·(8 + 4·(i_С2Х2/R₂)² + 2·(r₂/R₂)²)·a_С1·δS_С1.

Внося эти слагаемые в общее уравнение динамики, получим

G·(8 – f₄·((b + d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·G·cos(α)·(r₂/R₂))·δS_С1 –

– (G/g)·(8 + 4·(i_С2Х2/R₂)² + 2·(r₂/R₂)²)·a_С1·δS_С1 = 0.

Отсюда определим модуль a_С1 ускорения центра масс груза 1:

a_C1 = g·(8 – f₄·((b + d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·cos(α)·(r₂/R₂))/

/(8 + 4·(i_С2Х2/R₂)² + 2·(r₂/R₂)²) =

= 9,81·(8 – 0,1·((0,5 + 0,4)/0,5) – 2·(0,2/0,5)·0,5 –

– 0,1·2·0,866·(0,2/0,5))/

/(8 + 4·(0,1/0,5)² + 2·(0,2/0,5)²) = 9,584 м/с².

Таким образом, ответ на вопрос (a_С1 =?), поставленный в курсовом задании Д 8, получен.