5.3.2. Теорема об изменении момента количества

движения материальной точки

Р

Рис. 5.7

ассмотрим движение материальной точки, входящей в механическую систему, в инерциальной системе отсчёта (рис. 5.7).

Пусть точка движется в горизонтальной плоскости OXY под действием активных сил , реакций внешних связей и внутренних сил .

Равнодействующую Р этих сил определяют по формуле

Р = Σ + Σ + Σ .

Теорему об изменении момента количества движения материальной точки механической системы выражают векторным равенством:

dL_О/dt = ΣM_О( ) + ΣM_О( ) + ΣM_О( ).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Так как проекция векторной производной на любую ось равна производной от её проекции, то, проецируя последнее векторное равенство на координатные оси системы отсчёта OXYZ, получим:

dL_OX/dt = ΣM_OX( ) + ΣM_OX( ) + ΣM_OX( );

dL_OY/dt = ΣM_OY( ) + ΣM_OY( ) + ΣM_OY( );

dL_OZ/dt = ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( ).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Следствия из теоремы

1. Если линия действия равнодействующей (Р = Σ +Σ + Σ ) приложенных к материальной точке сил всё время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

Действительно, если ΣM_О( ) + ΣM_О( ) + ΣM_О( ) = 0, то dL_О/dt = 0 и, следовательно, L_О = const.

П

Рис. 5.8

римером, иллюстрирующим это следствие, может служить движение материальной точки под действием центральной силы (рис. 5.8).

Центральная сила – сила, линия действия которой постоянно проходит через некоторую точку, неподвижную в данной системе отсчёта и называемую центром силы.

Покажем, что линия действия равнодействующей силы Р постоянно проходит через центр О. Тогда главный момент М_О активных сил , реакций внешних связей и внутренних сил равен нулю:

М_О = ΣM_О( ) + ΣM_О( ) + ΣM_О( ) = 0.

Отсюда следует, что L_О = const.

Из следствия 1 вытекает, что плоскость, в которой находятся вектор m·V количества движения точки и центр О, не изменяет своего положения, т. е. траектория лежит в одной плоскости.

2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке активных сил, реакций внешних связей и внутренних сил относительно некоторой оси всё время равняется нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.

Если, например, M_OX(P) = ΣM_OX( ) + ΣM_OX( ) + ΣM_OX( ) = 0, то dL_OX/dt = 0 и, следовательно, L_OX = const.

5.3.3. Кинетический момент механической

системы относительно центра и оси

Кинетический момент или главный момент количеств движения механической системы относительно данного центра – величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этого центра.

Момент количества движения каждой материальной точки C_i системы (рис. 5.9) относительно центра О определяется по формуле

L_CiO = r_Ci×(m_Ci·V_Ci).

Кинетический момент механической системы относительно центра О равен геометрической сумме моментов количеств движения материальных точек системы:

L

Рис. 5.9

_O = ΣL_CiO.

Кинетический момент или главный момент количеств движения механической системы относительно оси – величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этой оси.

О

Рис. 5.10

пределим кинетический момент механической системы относительно оси OZ (рис. 5.10).

Момент количества движения L_CiOZ каждой точки C_i системы относительно оси вращения OZ определяется по формуле

L_CiOZ = (m_Ci· )·X_Ci – (m_Ci· )·Y_Ci.

Кинетический момент механической системы относительно оси OZ вращения равен

L_OZ = ΣL_CiOZ.

Аналогичным образом определяются кинетические моменты механической системы относительно осей вращения OX, OY:

L_CiOX = (m_Ci· )·Y_Ci – (m_Ci· )·Z_Ci;

L_OX = ΣL_CiOX;

L_CiOY = (m_Ci· )·Z_Ci – (m_Ci· )·X_Ci;

L_OY = ΣL_CiOY.