Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно произвольного центра».

2. Сформулировать определение понятия «плечо вектора количества движения точки относительно произвольного центра».

3. Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно оси».

4. Записать формулы для определения моментов количества движения точки относительно координатных осей.

5. Записать в векторной форме формулу, выражающую теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

6. Записать в скалярном виде формулу, выражающую теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

7. Сформулировать определение понятия «центральная сила».

8. Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно центра».

9. Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно оси».

10. Записать в скалярном виде формулы, выражающие теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно координатных осей.

11. Сформулировать следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно координатных осей.

5.4. Динамика движений твёрдого тела

5.4.1. Динамика поступательного движения твёрдого тела

Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая линия, проведённая на теле, остается во всё время движения параллельной своему начальному положению.

Рассмотрим поступательное движение твёрдого тела на плоскости в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 5.16).

Рис. 5.16

Из курса кинематики известно, что при поступательном движении твёрдого тела траектории всех его точек одинаковы (при наложении друг на друга траектории движения точек совпадают), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны.

Эти свойства позволяют свести изучение поступательного движения твёрдого тела к изучению движения его отдельной точки. За такую точку, как правило, выбирают центр масс твёрдого тела.

Выражения X_C = f₁(t), Y_C = f₂(t), Z_C = f₃(t), описывающие движение центра С масс твёрдого тела в пространстве, называют уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

Твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил Σ (главный вектор R^J внутренних сил) всегда равна нулю (Σ = R^J = 0).

Таким образом, центр С масс твёрдого тела при его поступательном движении движется под действием активных сил и реакций внешних связей.

Основное уравнение динамики движения центра масс твёрдого тела имеет вид

m·a_С = Σ + Σ = + ,

где = Σ , = Σ – главные векторы активных сил и реакций внешних связей.

Главные векторы , прикладывают в центре масс твёрдого тела.

Как правило, основное уравнение динамики поступательного движения твёрдого тела записывают в виде

m·a_С = Σ + Σ .

Произведение массы тела на ускорение его центра масс рано геометрической сумме активных сил и реакций внешних связей, приложенных к нему.

Спроецируем это векторное равенство на координатные оси неподвижной (инерциальной системы отсчёта) OXYZ:

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ;

m· = Σ + Σ ,

где m – масса тела; , , – проекции ускорения центра масс тела на координатные оси; Σ , Σ , Σ , Σ , Σ , Σ – суммы проекций соответственно активных сил и реакций внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчёта.

Последние выражения называют дифференциальными уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.

По дифференциальным уравнениям поступательного движения твёрдого тела решают прямые и обратные задачи динамики. Алгоритмы решения таких задач не отличаются от алгоритмов решения задач динамики точки, приведённых в подразделах данного учебно-методического пособия, поэтому здесь они подробно не приводятся.

Так как курсовых заданий на решение дифференциальных уравнений поступательного движения твёрдого тела по учебной программе не предусмотрено, то и примеры решения таких задач здесь не приведены.