4.2. Алгоритм определения кинематических характеристик центра масс механической системы

Решение задач, в которых требуется определить уравнение траектории движения центра масс, его скорость и ускорение, проводят по алгоритму, представляющему собой заданную последовательность действий исполнителя.

1. Выбрать систему отсчёта.

2. Определить массу механической системы по формуле m = Σm_Ci.

3. Записать координаты центров тяжестей каждого из тел механической системы, выразив их в функции времени: X_Ci = X_Ci(t); Y_Ci = Y_Ci(t); Z_Ci = Z_ci(t).

4. Определить координаты центра масс механической системы по формулам: X_C = Σm_Ci·X_Ci/m; Y_C = Σm_Ci·Y_Ci/m; Z_C = Σm_Ci·Z_Ci/m. Полученные координаты X_C, Y_c, Z_C окажутся функциями времени, т. е. эти координаты окажутся параметрическими уравнениями движения центра масс.

5. Для нахождения явных уравнений траектории движения центра масс системы материальных точек надо из последних уравнений исключить время t.

6. Определить проекции , , скорости центра масс и модуль этой скорости по формулам: = Σm_Ci· /m; = Σm_Ci· /m; = Σm_Ci· /m; V_C = ;

7. .Для ориентации вектора скорости V_C центра масс в пространстве определить направляющие косинусы по формулам: cos(V_C, i) = / V_C; cos(V_C, k) = / V_C; cos(V_C, k) = / V_C.

8. Определить проекции , , ускорения центра масс и модуль этого ускорения по формулам: = Σm_Ci· /m; = Σm_Ci· /m; = Σm_Ci· /m; a_C = .

9. Определить направляющие косинусы по формулам: cos(a_C, i) = /a_C; cos(a_C, j) = /a_C; cos(a_C, k) = /a_C.

10. Для момента времени t₁ определить кинематические характеристики центра масс. Результаты вычислений свести в таблицу и при необходимости проиллюстрировать рисунком.

4.3. Моменты инерции твёрдого тела. Радиус инерции

При поступательном движении твёрдого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой инертности является масса. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения.

Напомним, что в теоретической механике твёрдое тело рассматривается как механическая система, образованная непрерывной совокупностью взаимосвязанных материальных точек.

Момент инерции механической системы относительно оси – величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси.

Рассмотрим твёрдое тело как множество материальных точек C_i с координатами X_Ci, Y_Ci, Z_Ci (рис. 4.2).

Согласно определению моменты инерции J_OX, J_OY, J_OZ относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ вычисляют по формулам:

J_OX = Σm_Ci·((Y_Ci)² + (Z_Ci)²);

J_OY = Σm_Ci·((X_Ci)² + (Z_Ci)²);

J_OZ = Σm_Ci·((X_Ci)²+(Y_Ci)²).

Момент инерции относительно оси характеризует распределение масс материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен и имеет размерность кг/м².

Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, всегда имеет минимальное значение.

Ф

Рис. 4.2

ормулы для определения моментов инерции некоторых однородных твёрдых тел приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1