Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «обобщённые координаты механической системы».

2. Что изучает аналитическая механика?

3. Сформулировать определение понятия «возможные перемещения несвободной механической системы».

4. Сформулировать определение понятия «связи».

5. Сформулировать определение понятия «геометрические связи».

6. Сформулировать определение понятия «стационарные связи».

7. Сформулировать определение понятия «уравнения связей».

8. Сформулировать определение понятия «дифференциальные связи».

9. Сформулировать определение понятия «голономные связи».

10. Сформулировать определение понятия «неголономные связи».

11. Сформулировать определение понятия «нестационарные связи».

12. Сформулировать определение понятия «двусторонние (удерживающие) связи».

13. Сформулировать определение понятия «односторонние (неудерживающие) связи».

14. Сформулировать определение понятия «голономная система».

15. Сформулировать определение понятия «неголономная система».

16. Сформулировать определение понятия «возможное перемещение системы».

17. Сформулировать определение понятия «возможная (элементарная) работа силы».

18. Записать формулу для определения возможной работы силы.

19. Записать формулу для определения возможной работы сил, приложенных к механической системе.

20. Сформулировать определение понятия «идеальные связи».

21. Сформулировать принцип возможных перемещений.

22. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в векторной форме.

23. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в координатной форме.

24. Записать формулу, выражающую принцип возможных скоростей (принцип возможных мощностей).

6.4. Общее уравнение динамики

6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики, если его дополнить принципом Даламбера.

Рассмотрим движение несвободной неизменяемой механической системы, на которую наложены идеальные связи, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 6.25).

Согласно принципу Даламбера i-я точка механической системы совершает движение под действием активной силы , реакции внешней связи, реакции внутренней связи и силы инерции Ф_i. Этот принцип выражается формулой

+ + + Ф_i = 0.

П

Рис. 6.25

усть точка С_i механической системы получит возможное перемещение δS_Сi. Очевидно, что элементарная работа δА сил, приложенных к точке, равна нулю.

δА = ( + + + Ф_i)·δS_Сi = 0.

Просуммируем последние выражения и получим

Σ ·δS_Сi +Σ ·δS_Сi + Σ ·δS_Сi + ΣФ_i·δS_Сi = 0.

Для движущейся механической системы сумма работ активных сил, реакций внешних связей, внутренних сил и сил инерции, приложенных к её точкам, на любых возможных перемещениях этой системы равна нулю.

Поскольку на механическую систему наложены идеальные связи, то сумма работ реакций этих связей равна нулю.

Σ ·δS_Сi = 0.

Так как рассматривается неизменяемая механическая система, то сумма работ реакций внутренних связей также равна нулю.

Σ ·δS_Сi = 0.

Исходя из того, что Σ ·δS_Сi = 0 и Σ ·δS_Сi = 0, получим

Σ ·δS_Сi + ΣФ_i·δS_Сi = 0.

Последнее уравнение называют общим уравнением динамики.

В любой момент времени работа активных сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с идеальными связями на её любом возможном перемещении равна нулю.

Общее уравнение динамики (Σ ·δS_Сi + ΣФ_i·δS_Сi = 0) можно преобразовать к следующим видам:

Σ( + Ф_i)·δS_Сi = 0;

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) + ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Сi) = 0;

Σ( ·δS_iОХ + ·δS_iOY + ·δS_iOZ) +

+ Σ(Ф_iOX·δS_iOX + Ф_iOY·δS_iOY + Ф_iOZ·δS_iOZ) = 0;

Σ( ·δS_iOX + ·δS_iOY + ·δS_iOZ) +

+ Σ(– m· ·δS_iOX – m· ·δS_iOY – m· ·δS_iOZ) = 0,

где , , – проекции активных сил на координатные оси; Ф_iOX, Ф_iOY, Ф_iOZ – проекции сил инерции на координатные оси; δS_iOX, δS_iOY, δS_iOZ – проекции возможных перемещений точек приложения сил на координатные оси, , , – проекции ускорений материальных точек механической системы на координатные оси.

Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы.

Если среди связей системы имеются односторонние связи, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не разрушали эти связи, а обеспечивали их функциональное назначение.

Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание Д 8.