Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «количество движения материальной точки».

2. Сформулировать определение понятия «импульс силы за промежуток времени».

3. Записать формулу для определения импульса силы за промежуток времени.

4. Записать формулу для определения импульса равнодействующей нескольких сил, действующих на точку.

5. Записать теорему импульсов в векторной форме.

6. Записать теорему импульсов в скалярной форме.

7. Сформулировать определение понятия «количество движения механической системы».

8. Записать теорему об изменении количества движения неизменяемой механической системы в векторной форме.

9. Записать теорему об изменении количества движения неизменяемой механической системы в скалярной форме.

10. Сформулировать следствия из теоремы об изменении количества движения неизменяемой механической системы.

5.3. Теоремы об изменении момента количества

движения материальной точки и об изменении

кинетического момента механической системы

5.3.1. Моменты количества движения

материальной точки относительно центра и оси

Рассмотрим движение материальной точки в горизонтальной плоскости OXY (рис. 5.5).

Момент количества движения m·V точки относительно центра О представляет собой вектор L_О, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор m·V и центр О в ту сторону, откуда видно, что вектор m·V поворачивает горизонтальную плоскость относительно оси, проходящей через центр О, против хода часовой стрелки.

Рис. 5.5

Момент количества движения материальной точки относительно центра – величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения.

Согласно рис. 5.5 момент количества движения L_О можно определить векторным произведением радиус-вектора r, проведённого из точки О в точку М, на вектор количества движения m·V:

L_О = r×(m·V).

Модуль L_О вектора L_О равен произведению величины m·V на плечо h вектора m·V относительно центра О:

L_О = (m·V)·h.

Плечо h вектора m·V количества движения точки относительно центра – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия вектора m·V.

Момент L_О количества движения m·V относительно точки О равен нулю в том случае, когда линия действия вектора m·V проходит через точку О, так как тогда плечо h = 0.

Рассмотрим случай движения точки в пространстве (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Дадим определение понятия «момент количества движения точки относительно оси».

Момент количества движения точки относительно оси – величина, равная проекции на ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.

Согласно определению имеем

L_ОХ = L_О·cos(L_О, i);

L_ОY = L_О·cos(L_О, j);

L_ОZ = L_О·cos(L_О, k),

где L_ОХ, L_ОY, L_ОZ – проекция вектора L_О на оси ОХ, OY, OZ.

При решении практических задач пользоваться этими формуллами неудобно. Поэтому поступают следующим образом.

Вектор m·V количества движения разлагают на компоненты m·V_OX, m·V_OY, m·V_OZ по соответствующим координатным осям.

Момент количества движения m·V точки относительно оси – величина, равная алгебраической сумме моментов компонентов m·V_OX, m·V_OY, m·V_OZ вектора m·V относительно этой оси.

Если компонента вектора m·V вызывает вращение тела против хода часовой стрелки, то момент количества движения этой компоненты относительно оси положителен, и отрицателен при противоположном условии. При этом на тело необходимо смотреть с положительного направления отсчёта соответствующей координаты.

Аналитические выражения для определения моментов L_OX, L_OY, L_OZ количества движения относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ имеют вид:

L_OX = (m· )·Y – (m· )·Z;

L_OY = (m· )·Z – (m· )·X;

L_OZ = (m· )·X – (m· )·Y,

где X, Y, Z – координаты движущейся точки; , , – проекции скорости точки на оси координат.