5.4.2. Динамика вращательного движения твёрдого тела

Вращательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Рассмотрим вращательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 5.17).

При вращении тела угол его поворота φ изменяется в зависимости от времени t.

φ = f(t).

Эту аналитическую зависимость называют уравнением вращательного движения твёрдого тела. При вращательном движении твёрдого тела все его точки описывают окружности с центром на оси вращения и радиусом r_i.

По известному уравнению φ = f(t) вращательного движения тела определяют его угловую скорость и угловое ускорение .

= dφ/dt; = d₂φ/dt².

Согласно рис. 5.17 на рассматриваемую механическую систему (твёрдое тело) кроме активных сил действуют реакции внешних связей. К этим реакциям отнесены: X_A, Y_A, Z_A, X_B, Y_B, – соответственно реакции подпятника А, цилиндрического шарнира В и реакция тела другой механической системы в точке С.

R^E = Σ = X_A + Y_A + Z_A + X_B + Y_B + ,

г

Рис. 5.17

де R^E = Σ – главный вектор реакций внешних связей.

Необходимо отметить, что в динамике твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил (главный вектор R^J внутренних сил) всегда равна нулю (Σ = R^J = 0).

С учетом этого дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно оси вращения OZ имеет вид

J_OZ· = ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( ),

где J_OZ – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения; ΣM_OZ( ), ΣM_OZ( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Сравним дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела (J_OZ· = ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( )) с одним из дифференциальных уравнений поступательного движения твёрдого тела (m· = Σ + Σ ).

Очевидно, что момент инерции J_OZ твёрдого тела при вращательном движении имеет то же значение, что и масса m при его поступательном движении.

Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при его вращательном движении.

По дифференциальному уравнению вращательного движения твёрдого тела (J_OZ· = ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( )) решают следующие задачи:

1. По заданному уравнению движения φ = f(t) и его моменту инерции J_OZ определяют главный момент внешних сил, действующих на тело:

= ΣM_OZ( ) + ΣM_OZ( ).

2. По заданным активным силам и реакциям внешних связей, а также по начальным условиям вращения ( , ) и по моменту инерции J_OZ тела относительно оси вращения определяют уравнение движения φ = f(t).

3. Определяют момент инерции J_OZ относительно оси вращения по известным величинам углового ускорения и главного момента внешних сил, действующих на тело.

Поскольку учебной программой выполнение курсовых заданий на применение дифференциальных уравнений вращательного движения твёрдого тела не запланировано, то и примеры решения задач на эту тему в данном учебно-методическом пособии не приведены.