1.8. Пример решения первой задачи динамики точки в декартовой системе отсчёта

Условие задачи.

Под действием горизонтальной силы F₁ движение материальной точки массой m = 8 кг происходит по гладкой горизонтальной плоскости OXY согласно уравнениям X = 0,05·t³, Y = 0,3·t². Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t₁ = 4 с (рис. 1.5).

Решение.

1. Выбираем систему отсчёта ОXY.

2. Изобразим точку на траектории её движения в произвольный момент времени. Согласно известным положениям кинематики скорость V точки направлена по касательной к траектории движения, а её ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения.

3. Так как начальные условия движения точки не заданы, то на рис. 1.5 они не показаны.

4. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы F₁ и G. Так как поверхность, по которой перемещается точка, гладкая, на точку действует только нормальная реакция N. Основное уравнение динамики для рассматриваемой задачи имеет вид m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е = G + F₁ + N. Поскольку рис. 1.5 приведён в ортогональной проекции, то сила тяжести G и нормальная реакция N не п

   

   Рис. 1.5

   оказаны.

5. Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m· = Σ + Σ = F_1OX = Р_OX; (1)

m· = Σ + Σ = F_1OY = Р_OY; (2)

m· = Σ + Σ = F_1OZ = P_OZ. (3)

6. По заданным уравнениям движения X = 0,05·t³, Y = 0,3·t² определим проекции , , _{ускорения точки на координатные оси.}

7. Найденные значения , , подставим в уравнения (1), (2), (3).

m·(0,3·t) = F_1OX = Р_OX; (1^I)

m·(0,6) = F_1OY = Р_OY; (2^I)

m·(0) = F_1OZ = Р_OZ = 0. (3^I)

8. Определим модуль Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей.

= .

9. Вычислим значения F_1OX, F_1OY, P для момента времени t₁= 4 c.

F_1OX(t₁) = 0,3·m·t₁ = 0,3·8·4 = 9,6 H;

F_1OY(t₁) = 0,6·m = 0,6·8 = 4,8 H;

= 10,733 H.

10. Определим направляющие косинусы и углы, составленные направлениями координатных осей и силой.

cos(P(t₁), i) = F_1OX(t₁)/P(t₁) = 9,6/10,733 = 0,894; α = 26,563^о;

cos(P(t₁), j) = F_1OY(t₁)/P(t₁) = 4,8/10,733 = 0,447; β = 63,434^о.

11. Определим координаты точки на траектории её движения в момент времени t₁, и полученную информацию отобразим на рис. 1.6: X(t₁) = 0,05·4³ = 3,2 м; Y(t₁) = 0,3·4² = 2,4 м.

Т

Рис. 1.6

аким образом, задача решена, ответы на поставленные вопросы получены.

1.9. Алгоритм решения первых задач динамики точки в естественных координатных осях

В первой задаче динамики точки известно уравнение S = f(t) движения точки в естественных координатных осях. Могут быть заданы начальные условия движения, к которым относятся дуговая координата S₀ и скорость V₀ в момент времени t₀ = 0. При естественном способе задания движения точки известно следующее: вид траектории движения; начало отсчёта дуговой координаты S; положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты.

Алгоритм решения первых задач динамики в естественных координатных осях представляет собой следующую совокупность действий исполнителя.

1. Изображается известная траектория движения точки. На этой траектории наносятся начало отсчёта (О), положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты S.

2. Точка изображается на траектории движения в произвольный момент времени. При этом точка имеет координату S > 0 и движется в сторону её увеличения ускоренно.

3. В эту точку помещается начало координат ПСО, которая представляет собой совокупность трёх взаимно перпендикулярных осей: касательная, главная нормаль, бинормаль. При этом единичный вектор τ всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты S. Единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения точки.

4. По данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (S₀, V₀).

5. К точке прикладывают активные силы F_i^E и реакции R_i^E внешних связей.

6. Записывают дифференциальные уравнения движения точки, которые имеют следующий вид:

m· = Σ + Σ ;

m· /ρ = Σ + Σ ;

Σ + Σ = 0.

7. По заданному уравнению движения S = f(t) определяют проекцию скорости и проекцию ускорения точки на касательную.

8. Определённые проекции , подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

9. Определяют проекции P_oτ, P_on равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей на координатные оси ПСО. Для этого необходимо решить следующие уравнения:

P_oτ = m· = Σ + Σ ; (1)

P_on = m· /ρ = Σ + Σ ; (2)

Σ + Σ = 0. (3)

10. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей, действующих на точку.

.

10. Для ориентации вектора Р в пространстве определяют направляющие косинусы.

cos(P, τ) = P_оτ/P; cos(P, n) = P_оn/P.

10. По величине значений направляющих косинусов находят значения углов, составленных направлениями координатных осей ПСО и силой Р.

11. Равнодействующую Р активных сил F_i^Е и реакций R_i^Е внешних связей изображают на рисунке, иллюстрирующем результаты расчётов. Необходимо отметить, что сила Р лежит в соприкасающейся плоскости так же, как и ускорение a точки и имеет с ним одинаковое направление.