6.3.4. Пример выполнения курсового задания д 7

Д

Рис. 6.19

ано: конструкция, состоящая из двух тел, находится в равновесии под действием следующих нагрузок: Р₁ = 2 кН; Р₂ = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м (рис. 6.19).

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.

Решение.

З

Рис. 6.20

аменим равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загруженного участка тела 1 (рис. 6.20). Модуль этой силы определим по формуле Q = q·2 = 1·2 = 2 кН.

Поскольку связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, то для решения поставленной задачи правомерно применение принципа возможных перемещений.

Найдем горизонтальную составляющую Х_А реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОХ, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Х_А. В результате этих действий реакция Х_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (см. рис. 6.19) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка получит возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 параллельны, то тело 2 совершает поступательное движение. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = δS_В = δS_Р2,

где δS_Р2 – возможное перемещение точки приложения силы Р₂.

Таким образом, возможные перемещения всех точек тел 1 и 2 геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C = δS_В = δS_Р2.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемого случая.

F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0 = – X_A·δS_A + P₁·δS_P1 – P₂·cos(45^о)·δS_Р2 = 0. (1)

Поскольку δS_A = δS_P1 = δS_Р2, то выражение (1) можно записать в следующем виде:

– X_A·δS_A + P₁·δS_А – P₂·cos(45^о)·δS_А = 0.

Решая последнее выражение относительно Х_А, получим

X_A = P₁ – P₂·cos(45^о) = 2 – 4·0,707 = – 0,828 кН.

Найдем вертикальную составляющую Y_А реакции в жёсткой заделке.

С

Рис. 6.21

огласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Y_А. В результате этих действий реакция Y_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.21) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке В. Относительно оси, проходящей через точку В и перпендикулярной плоскости рис. 6.21, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CB·δφ₂ = 3·δφ₂.

Следует заметить, что возможные перемещения δS_C, δS_P2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

Принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который расположен в точке В. С этой целью силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о).

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений:

– Y_A·δS_A + Q·δS_Q + P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ +

+ P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0. (2)

Так как δS_A = δS_Q = 3·δφ₂, то выражение (2) можно преобразовать к следующему виду:

– Y_A·3·δφ₂ + Q·3·δφ₂ + P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ +

+ P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0.

Решая последнее выражение относительно Y_A, получим

Y_A = Q 1+ P₂·sin(45^о)·0,5 + P₂·cos(45^о)·1 – M/3 =

= 2 1 + 4·0,707·0,5 + 4·0,707·1 – 6/3 = 4,242 кН.

Найдём реактивный момент М_А в жёсткой заделке.

Жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на поворот тела 1 в плоскости ОХY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реактивный момент М_А. В результате этих действий реакция М_А переходит в разряд активных нагрузок, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.22) заменяется шарнирно-неподвижной опорой. При такой замене составная конструкция становится подвижной. Тело 1 может совершать вращательное движение относительно оси, проходящей через точку А. Зададим телу 1 возможное угловое перемещение δφ₁. Тогда точки приложения активных сил Р₁, Q и точка С получат возможные перемещения δS_P1, δS_Q, δS_C.

δ

Рис. 6.22

S_P1 = 1,5·δφ₁; δS_Q = ( )·δφ₁; δS_C = CA·δφ₁.

Следует отметить, что возможное перемещение δS_C перпендикулярно отрезку, соединяющему точку С с осью вращения тела 1, проходящей через точку А.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке С₂. Относительно оси, проходящей через точку С₂ и перпендикулярную плоскости рис. 6.22, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CС₂·δφ₂.

Так как точка С принадлежит и телу 1, и телу 2, то справедливо равенство

δS_C = CA·δφ₁ = CС₂·δφ₂.

Из рис. 6.22 нетрудно установить, что СА = СС₂. Отсюда имеем

δφ₁ = δφ₂.

Возможные перемещения δS_C, δS_Р2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

В общем случае принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который находится в точке С₂. Как и ранее (см. рис. 6.21), силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о), параллельные координатным осям.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений.

– M_A·δφ₁ + P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₂ + M·δφ₂ = 0. (3)

Поскольку δφ₁ = δφ₂, то выражение (3) можно преобразовать к виду

– M_A·δφ₁ + P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₁ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₁ + M·δφ₁ = 0.

Решая это уравнение относительно М_А, получим

M_A = + P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·1,5 – P₂·cos(45^о)·6 + M =

= 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·1,5 – 4·0,707·6 + 6 = – 14,210 кН·м.

Определим реакцию R_B.

Шарнирно-подвижная опора в точке В накладывает только одно ограничение на перемещение тела 2 в пространстве. Снимем это ограничение на поступательное движение тела, параллельное оси ОY, и покажем на рис. 6.23 реакцию R_B. Так как тело 1 неподвижно, то возможным перемещением тела 2 является его поворот относительно оси, проходящей через точку С на угол δφ₂.

На рис. 6.23 показаны возможные перемещения δS_В, δS_Р2 точек приложения сил R_B и Р₂.

Составим уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, при этом учтём, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно мгновенного центра поворота на угол поворота тела.

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ + M·δφ₂ – R_B·δS_B = 0. (4)

Так как δS_B = 3·δφ₂, то выражение (4) приводится к виду

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ + M·δφ₂ – R_B·3·δφ₂ = 0.

Рис. 6.23

Решая последнее выражение относительно R_B, получим

R_B = P₂·sin(45^о)·0,5 – P₂·cos(45^о)·1 + M/3 =

= 4·0,707·0,5 – 4·0,707·1 + 6/3 = 0,586 кН.

П

Рис. 6.24

роведём проверку полученных результатов расчёта. Для этого рассмотрим равновесие составной конструкции под действием активных нагрузок Р₁; Р₂, М, Q и реакций внешних связей X_A, Y_A, M_A, R_B (рис. 6.24).

Запишем уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил и подставим в них определённые значения реакций внешних связей.

Σ + Σ = 0 = X_A – P₁ + P₂·cos(45^о) =

= – 0,828 – 2 + 4·0,707 = – 2,828 + 2,828 = 0;

Σ + Σ = 0 = Y_A – P₂·sin(45^о) + R_B =

= 4,242 – 2 – 4·+ 0,586 = 4,828 – 4,828 = 0;

ΣМ_А( ) + ΣМ_А( ) = 0 =

= – M_A + P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·4,5 – M + R_B·6 =

= – (–14,210) + 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·4,5 – 6 + 0,586·6 =

= 20,728 – 20,728 = 0.

Проверка подтвердила правильность расчётов.