7.2. Гироскопический момент

При изменении положения оси гироскопа (рис. 7.8) формируется гироскопический момент относительно точки О, который определяют по формуле

= J_O1Z1· × ,

г

Рис. 8

де J_O1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси прецессии OZ.

На рис. 7.8 оси OZ, O₁Z₁ расположены в плоскости OYZ. Согласно правилу векторного произведения вектор одновременно перпендикулярен векторам , и направлен в сторону, откуда виден поворот вектора к вектору , происходящий против хода часовой стрелки. Исходя из этого правила, вектор лежит на оси ОХ и направлен в сторону увеличения координаты Х. Модуль гироскопического момента определяют по формуле

= J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

Гироскопический момент стремится совместить ось гироскопа с осью прецессии.

Р

Рис. 7.9

ассмотрим быстрое вращение тела 1 с угловой скоростью в рамке 2, которая вращается относительно угловой оси OY с угловой скоростью (рис. 7.9).

При этом выполняется неравенство I I >> I I. Отношению к рамке 2 цилиндрические шарниры в точках А и В являются внешними связями. В этих связях формируются гироскопические (динамические) реакции R_A, R_B, противодействующие моменту . Реакции R_A, R_B образуют пару сил, алгебраический момент M^Sopr которой равен

M^Sopr = R_A·h.

В

Рис. 7.10

ектор M^Sopr этой пары сил направлен противоположно вектору гироскопического момента (рис. 7.10).

Вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr можно также определять по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

Задачи на определение гироскопических реакций опор рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости собственного вращения гироскопа и его кинетического момента L_O = J_OХ· .

2. Определить и изобразить на рисунке вектор угловой скорости прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент и его модуль по формулам: = J_O1Z1· × ; = J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

4. Определить вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;0

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

5. Определить модуль реакции одной из опор гироскопа по формуле R_A· = J_OХ·ω·ω₁/h.

8. Удар

8.1. Удар двух тел

Р

Рис. 8.1

ассмотрим удар двух тел, движущихся поступательно, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 8/1).

На рис. 8/1 приняты условные обозначения: С₁, С ₂ – центры масс тел 1, 2; V_C1; V_C2 – скорости центров масс тел.

Удар есть процесс, при котором в течение очень малого промежутка времени действуют очень большие силы. Время этого процесса часто равно тысячным и даже десятитысячным долям секунды. Величина силы, приложенной к телу во время удара, может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить вес тела.

Удар – механическое взаимодействие материальных тел, приводящее к конечному изменению скоростей их точек за бесконечно малый промежуток времени.

Примечание. Этот промежуток времени называют временем удара.

В теории удара классической механики вводится следующая идеализация этого процесса – совершается предельный переход к бесконечно большим силам, действующим бесконечно малое время (ударные силы) и имеющим конечный импульс S.

Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.

В технической литературе зачастую ударные силы называют мгновенными силами.

Согласно известным утверждениям кинематики поступательное движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и активной силы F_i^E на участке АВ (рис. 8.2).

В

Рис. 8.2

момент времени, когда материальная точка занимает на траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости от V₁ до V₂. В момент удара на материальную точку кроме сил G и F_i^E действует ударная сила Р. В отличие от ударной силы Р, силы F_i^E и G называют немгновенными силами.

В положении В, где действовала ударная сила Р, происходит резкое изменение траектории движения АВD точки. После прекращения действия ударной силы Р материальная точка на участке ВD снова движется под действием силы тяжести G и активной силы F_i^E.

Таким образом, в теории удара классической механики сделаны следующие допущения.

1. Действие немгновенных сил за время удара не учитывают.

2. Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.

3. Результат действия ударной силы на материальную точку выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством V₂ = V₁ + (S/m).

В

Рис. 8.3

действительности скачок скорости происходит в течение очень малого промежутка времени. Рассмотрим взаимодействие двух, совершающих поступательное движение, в момент удара (рис. 8.3) и введём понятия, широко используемые в инженерной практике.

Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.

Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс.

Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс соударяющихся тел лежат на линии центров.

Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.

Рассмотрение процесса удара требует выхода и рамок классической механики – отказа от схемы абсолютно твёрдого тела и перехода к схеме деформируемого тела. В зависимости от степени восстановления недеформированного состояния удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упругие.

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.

В конце неупругого удара центры тяжести соударяющихся движутся с одинаковыми скоростями.

Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел восстанавливается не полностью.

В конце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью.

В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

Рассмотрим прямой центральный упругий удар двух тел. На рис. 8.4 изображена расчётная схема этого удара. До удара (см. рис. 8.4а) соударяющиеся тела 1. 2 движутся в одном направлении с абсолютными скоростями V_C1, V_C2 центров С₁, С₂ масс этих тел. На рис. 8.4б изображен момент удара тел 1, 2. Расчётная схема движения тел после удара приведена на рис. 8.4в.

Напомним, что абсолютной скоростью называют скорость в инерциальной системе отсчёта.

Процесс упругого удара разделим на два этапа. В течение первого этапа (см. рис. 8.4б) совершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные скорости U_С1, U_С2.

О

Рис. 8.4

тношение изменений скоростей тел после удара к скоростям тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления при ударе.

Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная модулю разности отношений проекций скоростей величин центров масс тел на нормаль после удара к модулю разности отношений скоростей центров масс тел на нормаль к модулю разности отношений скоростей тел до удара.

Величину коэффициента k определяют по формуле

k = ,

где U_C2On, U_C1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 2, 1 на главную нормаль после удара; V_C1On, V_C2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1, 2 до удара.

Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно неупругом ударе k = 0, при упругом ударе k < 1, при упругом ударе k = 1.

Р

Рис.8.5

ассмотрим косой центральный удар двух тел (рис .8.5).

При рассмотрении косого центрального упругого удара поступательно движущихся твёрдых тел поверхности соударяющихся тел будем считать абсолютно гладкими.

До удара (см. рис. 8.5а) абсолютные скорости V_C1, V_C2 центров С₁, С₂ центров масс тел 1, 2 направлены к линии центров под углами α₁, α₂. После удара (см. рис. 8.5б) абсолютные скорости U_C1, U_C2 центров масс тел 1, 2 направлены к линии центров под углами β₁, β₂.

Величину коэффициента k при косом ударе определяют по формуле определяют по формуле

k = = .