6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

На отрезке [a,b] в узлах интерполяции х₀, х_1, …, х_n задается функция f(x) своими n + 1 значениями у₀ = f(x₀), …, y_n=f(x_n) .

Требуется построить многочлен L(х), совпадающий в узлах интерполяции х₀, …, х_n со значениями заданной функции:

L(x₀) = y₀, …, L(x_n) = y_n , где h = x_i+1 – x_i  const – шаг интерполяции.

Представим многочлен

,

где a_i (i = 0, 1 , 2, …, n) неизвестные постоянные коэффициенты, которые нам необходимо найти.

Пусть L_n(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, …, х_n принимает значения L_n(x₀) = у_{n .}

Тогда в узле интерполяции х₀ имеем

,

,

…

.

Запишем это в виде системы n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным

а₀ , а₁, а₂, …, а_{n .}

где x_i и y_i (i = 0, 1, …, n) – табличные значения аргумента и функции.

Находим значения неизвестных, как

; ; ; … ; ,

где – определитель системы.

Если  0, то система имеет единственное решение

.

Перепишем этот многочлен в другой форме

,

где

удовлетворяет следующим условиям:

.

В точках x₀ , x₁ , … , x_i-1 , x_i+1 , … , x_n функция Q_i(x) обращается в ноль, а в точке х_i равна 1 .

Окончательно получаем

.

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа

,

где х₀, х₁,…. х_n – узлы интерполяции, а х – значение аргумента, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

Обозначим произведение элементов первой строки через R₀ :

.

В общем виде произведение элементов i строки

.

Дополнительно вычислим произведение элементов, расположенных на главной диагонали

,

тогда интерполяционный многочлен Лагранжа можно переписать в виде

.

Интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается, если узлы интерполяции равноотстоящие, т.е. .

Обозначим q = (x - x₀)/h , тогда

.

Введем обозначения:

…

,

тогда

.

Заметим, что часть произведения в знаменателе равна

,

а другая

.

Умножив числитель и знаменатель правой части последнего равенства на (-1)^n-i(q - i), получим

,

где

.

Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции теперь можно записать в виде

.

6.2. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, х₂, …, х_n. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, надо сделать дополнительные предположения о поведении функции f(x), заданной таблично.

Будем считать, что функция f(x) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [a,b]. Погрешность . Введем вспомогательную функцию . Функция имеет n + 1 корень, т.е. , т.к. в узлах интерполяции и один из сомножителей .

Подберем k таким образом, чтобы , т.е.

,

тогда получим

.

Определим численное значение коэффициента k. Для этого продифференцируем n + 1 раз. Так как обращается в ноль на [a,b] в n + 2 точках: х₀, х₁, х₂,…, х_n, то на основании теоремы Ролля производная от обращается в ноль , по крайней мере n + 1 раз на интервале [a, b].

Применим снова теорему Ролля к функции . Вторая производная обращается в ноль не менее n раз на интервале (а, b). Продолжая этот процесс, придем к выводу, что производная (n + 1) порядка функции имеет хотя бы один корень, т.е. .

Тогда

,

но т.к.

.

Получим

,

.

Полагая, что M_n+1 = max | f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| получаем, оценку погрешности х  [a, b] для интерполяционного многочлена Лагранжа

.