Обозначим

.

Перепишем полученное уравнение в виде

.

2. Из третьего уравнения системы (2.4) вычтем уравнение (2.5) умноженное на

–

________________________________________________________

Обозначим

.

Перепишем полученное уравнение в виде

.

3. Из четвертого уравнения системы (2.4) вычитаем уравнение (2.5), умноженное на . Применив аналогичные преобразования, получим следующее уравнение:

,

где

.

В результате элементарных преобразований имеем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными, эквивалентную системе (2.4) :

(2.6)

,

где коэффициент вычисляется по формуле

.

Разделив далее коэффициент первого уравнения системы (2.4) на ведущий коэффициент , получим первое уравнение системы в виде :

,

обозначим , где j > 2 , тогда первое уравнение системы (2.4) примет вид :

или

.

Исключая теперь из всех уравнений системы (2.4), кроме первого, мы получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

, (2.7)

где , .

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (2.7) на ведущий коэффициент и ведущий коэффициент получим

, (2.8)

где , j > 3, то есть .

Исключив теперь х₃ , аналогичным путем из системы (2.8), находим:

, (2.9)

где

, ;

отсюда

. (2.10)

Остальные неизвестные системы последовательно определяются из уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10):

;

;

;

.

Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10, …).

Метод Гаусса применим при условии, что все ведущие коэффициенты отличны от нуля.

Для удовлетворения данных условий вычисления проводятся по схеме единственного деления.

Лекция 3. Приближенные методы решения слау

Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс повторения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).

Эффективность применения приближенных методов зависит от удачного выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса. Мы рассмотрим два метода - метод последовательных приближений и метод Зейделя.

3.1. Понятие предела для векторов и матриц Пусть дана последовательность векторов

; ; … (3.1)

с координатами ; … . Если у каждой координаты существует предел , т.е.

… , … , …, …

то вектор называется пределом последовательности векторов .