Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа

Метод сеток для уравнения гиперболического типа

U_t,t = a²·U_xx+g(x, t); 0 ≤ x ≤ l; t ≥ 0; (12.1)

(НУ) U(x,0) = f(x); U_t(x,0)=φ(x) (12.2)

(ГУ) U(0,t) = ф₁(t); U(l,t) = ф₂(t) (12.3)

аналогичен рассмотренному методу в (12.1), но требует знания начальных значений на двух временных слоях. Значение функции U_l,J на слое j = 0 известно из первого начального условия, а на слое j = 1 находим, используя второе начальное условие

.

Система конечно-разностных уравнений для уравнения (12.1) с условиями (12.2)-(12.3) имеет вид

U_l,J+1 = 2·(1-r)·U_l,J+r·(U_l+1,_J + U_l-1,_J)- U_l,J-1+ τ²·g_l,J (12.4)

(НУ) U_l,0 = J_l; U_l,1 = J_l + τ·φ_l (12.5)

(ГУ) U_0,J = ф_1,J; U_n,J = ф_2,J (12.6)

где n = τ²/h² ; J = 1,2,…,n; J = 1,2,….

Схема узловых точек изображена на рис. 12.1.

Рис. 12.1

Примечание. При граничных условиях второго и третьего рода, форму для расчета на границах получают, заменяя производные на границах на отношения конечных разностей.

12.2. Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ α; 0≤ y ≤ b ;

U_xx+U_yy=f(x,y) , (12.7)

(ГУ) U_r=φ(x,y) . (12.8)

Выбрав шаги по времени и по координатам, строим сетку

x_l = l·h; x₀ = 0; x_l = l·h; x_n = α; y_J = J· τ; y₀ = 0; y_m = b

где t = 1,2,….,n; J = 1,2,……., m.

Заменяя в каждом внутреннем узле (x_l, y_J) производные конечными разностями по формулам (12.4), получаем конечно-разностные уравнения

, (12.9)

U_0,J = φ(0,y_J)= φ_0,J; U_n,J = φ(α,y_J) = φ_n,J , (12.10)

U_l,0= φ(x,0)= φ_l,0; U_l,m= φ(x,b)= φ_l,m , (12.11)

где t = 1,2,…., n; J = 1,2,……., m .

Уравнения (12.9) вместе с условиями (12.10)-(12.11) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно U_l,J. Число неизвестных и число уравнений в системе равно числу внутренних узлов сетки. Схема узловых точек для уравнений (12.9) изображена на рис. 12.1.

Если h = τ и J_l,J = 0, то конечно-разностные уравнения имеют вид

(12.12)

Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности

U_xx=U_t; 0 ≤ x ≤ 1; t ≥ 0;

(НУ) U(x,0)=4·x· (1-x);

(ГУ) U(0,t)=U(1,t)=0

методом сеток с точностью до ε = 0.001 на первых трех временных уровнях, если шаг по координате Δx = h = 0,1, по времени Δt = τ = 1/600 .

Решение. Для вычисления U_l,J воспользуемся системой конечно-разностных уравнений (12.9) при g = 0 :

= ( + )+ , (12.13)

(НУ) U_l,0 = 4·x_l · (1-x_l); l = 1,2,…., 10 , (12.14)

(ГУ) U_0,J= U_10,J =0; J=0,1,2 . (12.15)

Составим таблицу значений U_l,J (табл. 12.1) .

Таблица 12.1

l J	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0.360	0.640	0.840	0.960	1	0.960	0.840	0.640	0.360	0
1	0	0.347	0.627	0.827	0.977	0.987	0.977	0.827	0.627	0.347	0
2	0	0.336	0.613	0.813	0.933	0.973	0.933	0.813	0.613	0.336	0

В силу симметрии начальных и краевых условий относительно оси x = 0,5 решение U_l,J будет симметричным относительно этой же оси.

Это позволяет вести расчеты для t = 1,2,…., 5, а для остальных значений следует заполнить таблицу, исходя из свойства симметрии:

U_0,J = U_10,J ; U_1,J = U_9,J; U_2,J = U_8,J ; U_3,J = U_7,J; U_4,J = U_6,J .

Начальная строка этой таблицы (J = 0) заполняется на основании зaданного начального условия (12.14).

В первый (l = 0) и последний (l = 10) столбцы вписываются данные граничных условий (12.15). Остальные строки таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (12.13). На первом шаге

U_l,J = (1/6)· .

Например,

U_1,1 = (1/6)· = (1/6) · (0,640+4∙0,360) = 0,347 .

На втором шаге

U_l,2 = (1/6) · .

Пример 2. Применяя метод сеток с шагом h = τ =1/3, найти решение уравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0), удовлетворяющее краевым условиям

U(0,y) = 30·y; U(x,1) = 30· (1-x²); U(1,y)=0; U(x,0)=0.

Решение. Конечно-разностные уравнения для уравнения Лапласа при h = τ = 1/3 имеют вид:

U_0,J = 0,25· , (12.16)

(ГУ) U_0,J = 30·J·h; U_3,J = 0; (12.17)

(НУ) (U_l,0 = 0; U_l,3 = 30·(1-(l·h)²) , (12.18)

где x = l·h, y = J·h, l = 1,2,3, J = 0,1,2,3 .

Составим таблицу U_l,J (табл. 12.2)

Таблица 12.2

y x	0	1/3	2/3	1
0	U0,0 = 0	U0,1 = 10	U0,2 = 20	U0,3 = 30
1/3	Ul,0 = 0	Ul,1	Ul,2	Ul,3 = 26,67
2/3	U2,0 = 0	U2,1	U2,2	U2,3 = 16,67
1	U3,0 = 0	U3,1 = 0	U3,2 = 0	U3,3 = 0

Первая и последняя строки этой таблицы получены из граничных условий (12.17), а первый и последний столбцы - из (12.18).

U_l,1, U_l,2, U_2,1, U_2,2 находим из следующей системы линейных алгебраических уравнений, которые получены из расчетной формул (12.16):

.