Лекция 7. Конечные разности

Табулирование функций в большинстве случаев производится для равноотстоящих значений аргумента, т.е. , где i = 0, 1, 2, …, n, а h – шаг интерполяции. Для вывода интерполяционных формул для равноотстоящих узлов интерполяции введем понятие «конечной разности».

Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции

,

,

… (7.1)

,

где h = const, или в общем виде

(7.2)

или

.

Из конечных разностей 1-го порядка можно образовать конечные разности 2-го порядка

; .

В общем виде конечная разность n-ого порядка записывается так:

.

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей

.

.

Общее выражение для конечной разности n порядка имеет вид:

.

Свойства конечных разностей:

1. Конечная разность суммы или разности функций есть сумма или разность конечных разностей функций

.

2. При умножении функции на постоянный множитель конечные разности умножаются на тот же множитель.

3. Конечная разность m порядка от конечной разности n порядка равна конечной разности (m + n) порядка

.

4. Конечные разности n-ого порядка от многочлена степени n – постоянны, а конечные разности (n + 1) порядка равны нулю.

7.1. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.

Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …; в равноотстоящих узлах интерполяции , , …, и требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что ; ; …; .

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f(x), многочлен Р_n(x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с Лагранжа.

Будем искать f(x) в виде

. (7.3)

В этом выражении неизвестны коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_{n .}

Найдем а₀, положив х = х₀, тогда

.

Чтобы найти коэффициент а₁, составим первую конечную разность для многочлена Р_n(x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем

.

Проведя подстановку, получим

Вычислим первую конечную разность многочлена Р_n(x) в точке х₀ . Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,

,

но

; ; .

Чтобы определить коэффициент а₂, составим конечную разность второго порядка:

.

После преобразований получим

Полагаем х = х₀ : тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль и

, .

Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х₀, получим общую формулу для получения коэффициентов

.

Подставив найденные значения коэффициентов а_i в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.

(7.4)

На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:

,

где , h – шаг интерполирования и q – число шагов.

Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования

.

При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования

.

Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.