5.2. Метод Рыбакова
Можно
рассматривать этот метод как модификацию
метода Ньютона. При замене
некоторым числом
,
где
– значение х
на [a,
b]
, при котором производная
максимальна.
При
сходимость не нарушается, но замедляется.
Метод Рыбакова удобен для поиска всех корней уравнения f(x) = 0 на [a,b] .
1. Задаем начальные значения х = х0 = а .
2. Для каждой последовательной итерации ( n = 0, 1, 2, …) вычисляем
и
проверяем условие xn
< b,
если оно выполняется, то, значит, найдены
все корни, в противном случае проверяем
выполнение условия
.
Если оно не выполняется, то повторяем
цикл с пункта 2 и переходим к пункту 3.
3.
Задаем начальное приближение
и снова идем на пункт 2.
5.3. Метод наискорейшего спуска
Распространенным методом минимизации функций большого числа переменных является метод градиентного спуска. Последующее приближение получается из предыдущего смещением в направлении, противоположном градиенту функции F(x). Каждое следующее приближение ищется в виде
.
Приведенное
описание не определяет алгоритм
однозначно, т.к. ничего не сказано о
выборе параметра
. Его можно определять из условия минимума
величины
.
В этом случае рассматриваемый метод называют методом наискорейшего градиентного спуска.
Для
функции
,
соответствующей системе линейных
уравнений с матрицей
,
задача нахождения минимума решается
в явном виде
так как
и
.
Обозначим
через
, т.е.
.
Предположим,
что
. Учитывая, что
,
вычислим
:
,
.
Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование
Математическая постановка задачи интерполирования.
В экономике и технике, часто приходится сталкиватьcя с необходимостью вычисления значений функции у = f(х) в точках, отличных от значения аргумента, фиксированных в таблице.
Подобные задачи практики формализуются как математические задачи интерполирования.
Пусть
на отрезке [a,
b]
задана
функция у
= f(х)
своими n
+ 1
значениями
;
;
… ;
в точках x0,
x1,
…, xn
, которые
назовем узлами интерполяции.
Требуется найти аналитическое выражение табулированной функции F(х), совпадающее в узлах интерполяции со значениями заданной функции,
y0 |
y1 |
… |
yn-1 |
yn |
x0 |
x1 |
… |
xn-1 |
xn |
т.е.
;
;
… ;
.
Процесс вычисления значений функций в точках х, отличных от узлов интерполяции, называется интерполированием функции f(х).
Если аргумент х находится за пределами отрезка интерполирования [x0 , xn], то задача определения значения функции в точке х называется экстраполированием.
Задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции f(х) для функции у = f(х), заданной своими n+1 значениями, выбрать многочлен Fn (x) степени не выше n, такой, что
;
;
… ;
.
Многочлен Fn(x) удовлетворяющий этим условиям, называют интерполяционным многочленом, а соответствующие формулы – интерполяционными.
В случае, когда F(x) выбирается в классе степенных функций, интерполяция называется параболической.
При интерполировании возникает ряд задач:
Выбор наиболее удобного способа построения интерполяционной функции для каждого конкретного случая.
Оценка погрешности при замене f(x) интерполирующей функцией F(x) на отрезке [a, b].
Оптимальный выбор узлов интерполяции для получения минимальной погрешности.