Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц
;
;
(3.2)
… ;
.
с элементами aij(1), … , aij(k); где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n; то пределом последовательности матриц А(1), … , А(k) называется матрица с элементами
.
Сама же последовательности А(1), ... , А(k) называется сходящейся к А, т.е.
А(k) = А
или
.
Из сказанного выше следует следующее утверждение:
Если последовательность матриц А(1) , … , А(k) имеет пределом собственную матрицу А и вектора В(1) ,…, В(k) сходятся к В, то решения систем А(1)Х = В(1), … , А(k)Х = В(k) имеют предел, являющийся решением системы АХ = В, т.е.
Х(k)
= (А(k))-1
В(k)
А-1В
.
3.2. Метод простой итерации Пусть дана система линейных уравнений:
.
(3.3)
В матричном виде:
,
;
;
. (3.4)
Предполагая, что диагональные элементы aii 0 ,(j= 1, 2, …, n), выразим х1 через первое уравнение системы, х2 – через второе, и т.д.
;
;
… (3.5)
.
Обозначим
,
,
где i
= 1, …, n;
j
= 1, … , n
, тогда
(3.6)
Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду.
Введя обозначения
,
.
Запишем
систему (3.3) в матричной форме
или
.
(3.7)
Решим систему (3.7) методом последовательного приближения, за нулевое приближение возьмем столбец свободных членов:
-
нулевое приближение;
-
1-е приближение ;
-
2-е приближение .
Любое приближение вычисляется по формуле X(k+1) = + Х(k). Если последовательность приближения X(0), X(1), …, X(k) имеет предел X = lim X(k) при k , то этот предел является решением системы (3.6) . Поскольку по свойству предела lim X(k+1) = + lim X(k) , k , тогда X = + Х.
Условия сходимости итерационного процесса
Пусть дана приведенная к нормальному виду система линейных уравнений X = + Х. Итерационный процесс и его сходимость зависят от величины элементов матрицы следующим образом: если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора.
Следующее условие сходимости можно записать так:
Сходимость итерационного процесса связана с нормами матрицы следующими соотношениями. Если выполняется одно из условий:
,
либо
,
либо
,
то процесс итераций линейной системы сходится к единственному решению.
3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации
Если
задана допустимая погрешность вычислений
и Хi
– вектор точных
значений неизвестных линейной системы,
а Хi(k)
– есть k
приближение значений неизвестных,
вычисленное методом итераций, то для
оценки погрешности ||
Хi
- Хi(k)||
метода
применяется формула
.
(3.8)
где |||| – одна из трех норм матрицы , |||| – та же норма вектора , а k – число итераций, необходимое для достижения заданной точности.
При этом предполагается, что последовательное приближение Хi(j) (где j = 0, 1, 2, 3, …, k; i = 1, 2, …, n) вычисляется точно, в нем отсутствуют погрешности округления.
Пример. Методом последовательного приближения решить систему
Приведем данную систему к нормальному виду
;
.
Строим последовательные приближения.
Нулевое:
.
Первое:
.
Второе:
.
Третье:
.
С точностью 10-1 получаем х1 = 3, х2 = 1, х3 = 1.
Итерационный процесс сходится, т.к.
;
.
Процесс итераций заведомо сходится, если элементы матрицы удовлетворяют неравенству |ij| 1/n, где n - число неизвестных данной системы.
В нашем примере n = 3, |ji| 1/3. Используя норму ,
||||2 = max (0,4; 0,325; 0,325)=0,421 .
Соответствующая матрица ||||2 = (3,25 + 1,4 + 1,4) = 6,05 .
Применяя формулу
при ε =10-4 , получим
.
или
,
значит
итераций.