Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Невелико число типов дифференциальных уравнений, допускающих решение в квадратурах (сведение к дифференциальному уравнению с разделяющими переменными с последующим интегрированием). Многообразие видов уравнений, встречающихся при решении физических и технических вопросов, привело к созданию большого числа методов приближенного решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях. Все эти методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на три основные группы:

1. Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения;

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графиков.

3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Остановимся на численных методах.

10.1. Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи

Для дифференциального уравнения n-го порядка

уⁿ = f(x, у, у',…, у^(n-1)) (10.1)

задача Коши заключается в отыскании решения у = у(х) уравнения (10.1), удовлетворяющего начальным условиям

у(х₀) = у₀, у'(х₀) = у'₀, …, у^(n-1) (х₀) = у₀^(n-1), (10.2)

где х₀ ,у₀, у'₀, у₀^(n-1) – заданные числа. Если функция f (x,y,y',..., y^(n-1)) непрерывна, а ее частные производные ограничены в области, содержащей точку (х₀ ,у₀, у'₀, у₀^(n-1)), то существует единственное решение задачи Коши (10.1), (10.2).

Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

(10.3)

заключается в отыскании решения y₁ = y₁ (x),…у_n = у_n(x) системы (10.3), удовлетворяющего начальным условиям

y₁(x₀) = у₁₀, у₂ (x₀) = у₂₀, …, у_n(x₀) = у_n0 , (10.4)

где х₀, у₁₀, у₂₀, … у_n0 – заданные числа. Если функции f(x, у₁,…, у_n), непрерывны и имеют ограниченные частные производные в некоторой области, содержащей точку (х₀, у₁₀, у₂₀, … у_n0), то существует единственное решение задачи Коши (10.3), (10.4).

Известно, что систему дифференциальных уравнений, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, можно привести к системе вида (10.3) путем введения новых неизвестных функций. В частности, дифференциальное уравнение (10.1) порядка n приводится к системе вида (10.3) с помощью замены

у₁ = у', у₂ = у" , …, у _n-1 = y ^(n-1),

что дает следующую систему

(10.5)

то есть систему n дифференциальных уравнений первого порядка, правая часть которых не зависит от производных искомых функций. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений традиционно изучают для уравнений первого порядка

а затем, как правило, без труда распространяют на нормальные системы дифференциальных уравнений вида (10.3). Так мы и поступим.

Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

y' = f(x,у), (10.6)

и начальное условие

у (х₀) = у₀ (10.7)

Требуется численно решить задачу Коши (10.6), (10.7) на отрезке [x₀, b]. Это решение будет состоять в построении таблицы приближенных значений у₁, у₂,…, у_n искомого решения у = у(х) в точках х₁, х₂, …, х_n = b, где y_i ≈ y (x_i),

. Для этого отрезок [x₀, b] делят на n равных частей длины , так что x_i = х₀+ih, . Величина h называется шагом интегрирования.