10.4. Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта – наиболее известный и широко используемый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера можно рассматривать в качестве простейших представителей метода Рунге-Кутта или как упрощенные его варианты.

Согласно методу Рунге-Кутта, приближенные значения y_i+1 искомого решения у = у(х) определяются по формулам:

, , (10.14)

, (10.15)

,

, (10.16)

,

.

Значение y_i+1 приближенного решения дифференциального уравнения (10.6) по методу Рунге-Кутта определяется в усредненном по формуле (10.15) направлении, составляющими которого являются четыре направления, определяемыми углами , , , для которых

, ,

, ,

что значительно повышает точность метода Рунге-Кутта. Для сравнения, в методе Эйлера y_i+1 вычисляется в направлении, определяемого углом φ_i , для которого tg φ_i = f(x_i,y_i) (рис.10.1). В модифицированном методе Эйлера y_i+1 вычисляется уже в подправленном с помощью средней точки текущего отрезка [x_i,x_i+1] направлении (рис.10.2), определяемом углом φ_i, для которого .

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности h⁴ на всем отрезке [x₀, b]. Эффективная оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного просчета по формуле

где у(х_n) – значение точного решения уравнения (1) в точке х_n а, – приближенные значения, полученные с шагом и h.

Для определения правильности выбора шага h на практике применяют двойной просчет с шагом h и с шагом . Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг h для следующей точки удваивается, в противном случае берут половинный шаг.

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, очень широко используется при численных решениях дифференциальных уравнений на ЭВМ. Важным преимуществом этого метода является возможность на любом этапе вычисления изменить шаг интегрирования, при условии выполнения заданной точности.

Распространим метод Рунге-Кутта на нормальную систему дифференциальных уравнений (10.3).

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

с начальным условием у₀ = у(х₀), z₀ = z(x₀).

Приближенные значения у(x_i) ≈ y_i, z(x_i) ≈ z_i вычисляются последовательно по формулам:

(10.17)

где ; ;

; ; ; ; ; ; ; .

Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток)

Разностный метод – это один из численных методов решения дифференциального уравнения, т.е. искомая функция получается в виде набора чисел.

Суть этого метода состоит в том, что искомый набор чисел получается при решении системы алгебраических уравнений, которые приближенно заменяют дифференциальные на некотором дискретном множестве, называемом сеткой.

Сеткой называется область дискретного изменения аргументов, на которую заменяют область непрерывного их изменения. Отдельные точки сетки называются узлами сетки.

Функция, определяемая в узлах сетки, называется сеточной функцией. Замена функции непрерывного аргумента сеточной функцией называется аппроксимацией.

Этот метод основан на замене производных разностными отношениями, так

Близость разностного решения к точному зависит от выбора сетки. Основной целью всякого приближенного метода является получение решения исходной задачи с заданной точностью ε >0 за конечное число действий. Не любая конечно-разностная схема обеспечивает сходимость решения разностных уравнений к решению уравнения в частных производных. Такую сходимость решения обеспечивает лишь устойчивая схема.

Понятие устойчивости разностной схемы связано с ростом или затуханием ошибок, вносимых в расчет на любом этапе вычислений. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения, вносимого на шаге n по времени, ограничен. Для неустойчивых конечно-разностных схем возмущение возрастает.

Разностная задача поставлена корректно при всех достаточно малых , если:

1) решение разностной задачи существует и единственно для всех входных данных из некоторого дополнительного семейства;

2) решение непрерывно зависит от входных данных.

Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных называется устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью.

Если схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то она сходится, причем порядок точности (скорости сходимости) схемы определяется ее порядком аппроксимации. Отсюда следует, что изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости.

Рассмотрим идею разностного метода на конкретных примерах.