- •Оглавление
- •Предисловие
- •Лекция 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений
- •1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей
- •Источники погрешностей
- •1.2. Абсолютные и относительные погрешности
- •1.3. Понятие о системе линейных уравнений
- •2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
- •2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
- •Пусть дана система
- •1.4. Матричные уравнения
- •Лекция 2. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Обозначим
- •Лекция 3. Приближенные методы решения слау
- •3.1. Понятие предела для векторов и матриц Пусть дана последовательность векторов
- •Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц
- •3.2. Метод простой итерации Пусть дана система линейных уравнений:
- •В матричном виде:
- •Условия сходимости итерационного процесса
- •3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации
- •Лекция 4. Метод зейделя
- •4.1. Условия сходимости процесса Зейделя
- •Пусть дана линейная система
- •4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя
- •4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций
- •Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений а). Метод простой итерации.
- •Число итераций при использовании этого метода
- •Если корень нас не устраивает, то мы находим
- •Г). Метод Ньютона.
- •5.2. Метод Рыбакова
- •5.3. Метод наискорейшего спуска
- •Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование
- •6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Перепишем этот многочлен в другой форме
- •Окончательно получаем
- •Лекция 7. Конечные разности
- •Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей
- •7.1. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •7.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •Лекция 8. Линейное интерполирование
- •8.1. Интерполирование по Эйткину
- •8.2. Интерполяция и приближение сплайном
- •Приближение линейными сплайнами
- •Лекция 9. Численное интегрирование функций
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Формула прямоугольников
- •Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •10.1. Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи
- •10.2. Метод Эйлера
- •10.4. Метод Рунге-Кутта
- •Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток)
- •11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа
- •Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •12.2. Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа
- •Образцы выполнения контрольных работ Контрольная работа № 5
- •Контрольная работа № 6
- •Решение уравнения методом Эйлера
- •Решение уравнения модифицированным методом Эйлера
- •Решение уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитическое решение заданного уравнения
- •Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения
- •Контрольная работа №7
- •Контрольная работа №8
- •Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
- •Аналитические решения заданного уравнения
- •Примеры заданий для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Варианты задания
- •Задание 6
- •Варианты задания
- •Задание 7
- •Варианты задания
- •Задание 8
- •Варианты задания
- •Задача для самостоятельного решения
- •Вопросы для самостоятельной подготовки
- •Библиографический список
Задание 2
Решить
систему линейных уравнений
,
заданную в матричной форме, методом
итерации, предварительно найдя значения
неизвестных одним из прямых методов.
Варианты задания:
-
Вариант
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Задание 3
Найти
все действительные корни уравнения
с точностью
комбинированным методом и методом
итерации. Сравнить число шагов, необходимое
для достижения одинаковой точности
этими методами. Вычисления вести с одним
запасным знаком.
Варианты задания:
1.
|
11.
|
21.
|
2.
|
12.
|
22.
|
3.
|
13.
|
23.
|
4.
|
14.
|
24.
|
5.
|
15.
|
25.
|
6.
|
16.
|
26.
|
7.
|
17.
|
27.
|
8.
|
18.
|
28.
|
9.
|
19.
|
29.
|
10.
|
20.
|
30.
|
Задание 4
Построить
кубическую сплайн-функцию для функции
, заданной таблично на отрезке
.
Варианты задания:
-
Вари-ант
Значения переменных
Перемен-ные
Значения переменных
Вари-ант
1
-1
0
3
5
2
4
7
8
11
-3
5
2
-1
-1
-6
3
9
2
2
3
5
8
-9
-7
-4
-1
12
4
1
7
-1
3
-3
4
-1
3
0
2
3
4
0
1
4
6
13
-1
-4
2
6
7
-1
8
-2
4
7
9
13
15
-8
-5
0
2
14
2
-2
3
6
9
-2
4
-6
5
-3
-1
3
5
-7
-5
-4
-1
15
7
-1
4
9
4
-4
5
9
6
1
2
4
7
1
4
9
10
16
-3
-7
2
8
-2
9
3
0
7
-2
-1
2
3
7
8
10
14
17
4
9
1
-6
6
-2
7
3
8
2
4
5
7
-4
0
2
3
18
9
-3
6
-1
4
8
-2
-6
9
-4
-2
0
3
-3
-1
1
2
19
2
8
5
-1
11
-1
6
-2
10
-1
1,5
3
4,5
0
3
8
10
20
4
-7
1
6
1
5
-4
-8
